一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系第1页，课件共23页，创作于2023年2月1.一元二次方程的解法2.求根公式

复习提问数学活动一第2页，课件共23页，创作于2023年2月一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X=(b2-4ac≥0)第3页，课件共23页，创作于2023年2月1.

填表，观察、猜想

数学活动二

方程

x1,,x2

x1,+x2

x1.x2

x2-2x+1=0

1,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②

x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律。

第4页，课件共23页，创作于2023年2月根与系数关系如果关于x的方程的两根是,,则:如果方程二次项系数不为1呢?第5页，课件共23页，创作于2023年2月数学活动三

方程x1,,x2

x1,+x2

x1.x2

2x2-3x-2=0

3x2-4x+1=0

问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；②

ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律：第6页，课件共23页，创作于2023年2月一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0第7页，课件共23页，创作于2023年2月韦达（1540－1603）

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。

他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。第8页，课件共23页，创作于2023年2月一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+==-X1x2=●===第9页，课件共23页，创作于2023年2月1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-示例第10页，课件共23页，创作于2023年2月典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。

求：(1)(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22

＋2x1x2∴x12+x22

＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝6第11页，课件共23页，创作于2023年2月变式练习：

设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2）

（1）（３）（x1-x2）2第12页，课件共23页，创作于2023年2月例题：已知方程的两个实数根是且

求k的值。解：由根与系数的关系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2第13页，课件共23页，创作于2023年2月1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=0第14页，课件共23页，创作于2023年2月典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。第15页，课件共23页，创作于2023年2月试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=第16页，课件共23页，创作于2023年2月练习1已知关于x的方程当m=

时,此方程的两根互为相反数.当m=

时,此方程的两根互为倒数.－11分析:1.2.第17页，课件共23页，创作于2023年2月练习:2.以2和－３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：

第18页，课件共23页，创作于2023年2月练习3

已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是

。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:{解得:x=2

y=－1{或

ｘ＝－1y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得∴两数为2,－１已知两个数的和与积，求两数

第19页，课件共23页，创作于2023年2月拓广探索1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。第20页，课件共23页，创作于2023年2月一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0