现代控制第一章

现代控制第一章第1页，课件共43页，创作于2023年2月第一节状态空间表达式一、状态、状态变量组和状态空间先看几个例子！状态变量组：一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组，表为，其中为自变量时间。状态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组所组成的一个列向量，并且，状态的维数定义为其组成状态变量的个数。状态空间：状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数。第2页，课件共43页，创作于2023年2月二、状态空间表达式描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式。它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统状态变量和输入量之间的关系，也就是说状态方程是由状态变量、输入量和系统参数构成的一阶微分方程组，是矩阵微分方程，其一般式为

其中，输出方程是描述系统输出量和状态变量之间的变换关系，是矩阵代数方程，其一般式为第3页，课件共43页，创作于2023年2月其中，状态空间表达式由于方程(1-5)是多输入、多输出(MIMO)系统，故为多变量系统；如果是单输入、单输出(SISO)系统，则称为但变量系统，此时系统方程表达式为第4页，课件共43页，创作于2023年2月线性定常系统（线性时不变系统）：若方程(1-5)或(1-6)中的矩阵的诸元素是实常数。线性时变系统：若方程(1-5)或(1-6)中的矩阵的诸元素中只要有一个元素是时间的函数。一般表达式满足矩阵运算。控制系统方程也可用图形来标示，称为系统的状态图。也容易转换为信号流图。第5页，课件共43页，创作于2023年2月对于非线性系统，状态空间表达式，即状态方程与输出方程的一般描述是其中，。（注意向量函数与函数向量的区别！）如果非线性系统方程不显含时间，则称为非线性定常系统，其状态空间表达式为第6页，课件共43页，创作于2023年2月三、状态变量的选取状态变量的选取可以视所研究的问题性质和输入特性而定；状态变量的选取的非唯一性；系统状态变量的数目是唯一的；状态变量组对系统行为的完全表征性；是指只要给定初始时刻的任意初始状态变量组

和各时刻的任意输入变量组那么系统的任何一个内部变量在各时刻的运动第7页，课件共43页，创作于2023年2月行为也就随之而完全确定。状态变量组最小性的物理特征状态变量组最小是指减少其中的一个变量就会破坏它们对系统行为表征的完全性，而增加一个变量将不增加行为表征的信息量，即是完全表征系统行为所不需要的。状态变量组最小性的数学特征状态变量组为最小是指它们是系统所有内部变量中线性无关的一个极大变量组，也即以外的系统内部变量都必和它们线性相关。第8页，课件共43页，创作于2023年2月系统任意两个状态变量组之间的关系系统任意选取的两个状态和之间为线性非奇异变换的关系。有穷维系统和无穷维系统动态系统的维数定义为其状态的维数。用表系统，表示系统的状态，为状态的维数，则有。若维数为有穷正整数，称相应系统为有穷维系统，所有集总参数系统；若维数为无穷大，称相应系统为无穷维系统，所有分布参数系统；第9页，课件共43页，创作于2023年2月四、状态空间表达式建立的举例一般步骤：选取状态变量由机理法列原始动态方程化为规范形式导出状态变量方程和输出变量方程导出状态方程和输出方程例1例2例3第10页，课件共43页，创作于2023年2月第二节由微分方程求状态空间表达式一、微分方程中不含有输入信号导数项先看一个简单的例子状态变量的选取！图1－12再看一般化的阶微分方程向量、矩阵形式为第11页，课件共43页，创作于2023年2月

图1－13第12页，课件共43页，创作于2023年2月二、微分方程中含有输入信号的导数项先看一个简单的例子状态变量选择再引入中间变量其中为待定系数，反解出及其导数项，再带入上式，等式两边同次幂项的系数应该第13页，课件共43页，创作于2023年2月相等，解得待定系数为且得到系统状态方程记成向量、矩阵形式图1－14第14页，课件共43页，创作于2023年2月再看一般化的阶微分方程选取个状态变量

(1-33)

则系统方程为第15页，课件共43页，创作于2023年2月

其中第16页，课件共43页，创作于2023年2月

系统的状态图如图图1－15例1－4第17页，课件共43页，创作于2023年2月第三节传递函数矩阵一、传递函数定义，初始松弛系统，输入量输出量之间的关系，外部描述。SISO线性定常系统状态空间表达式为其中，对上式取拉氏变换，系统输出量对输入量的传递函数为第18页，课件共43页，创作于2023年2月例1－5。二、传递函数阵MIMO线性定常系统状态空间表达式为其中，系统输出量对输入量的传递函数阵为第19页，课件共43页，创作于2023年2月其中，表示只有第j输入作用时第i个输出量对第j个输入量的传递函数。例1－7耦合与解耦第20页，课件共43页，创作于2023年2月三、正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）传递函数未必是S的有理函数。如延迟系统的传递函数；有理函数是正则的，若当S为时，是有限常量；有理函数是严格正则的，若当S为时，；非正则传函系统在实际工程中是不能应用的。第21页，课件共43页，创作于2023年2月四、闭环系统传递函数矩阵参考图1－17前向通道的传递函数矩阵为，反馈通道的传递函数为，若误差向量为，则开环传递函数矩阵从到的传递函数矩阵闭环传递函数矩阵从到的传递函数矩阵第22页，课件共43页，创作于2023年2月五、传递函数矩阵描述与状态空间描述的比较对于松弛与非松弛系统，状态空间都可以描述；对于线性定常与时变系统，状态空间都可以描述；对于机理不甚明确的复杂系统，可以建立传函模型，但建状态空间模型较难；反映的信息量不一样；第23页，课件共43页，创作于2023年2月第四节离散系统的数学模型连续系统：输入和输出都是时间的连续函数离散系统：系统的输入、输出以及状态等仅定义在一些离散时间点上，假设离散时间是等间隔的并用T表示，称时间T为采样周期。用表示，用表示，。离散系统模型：状态空间表达式；线性定常离散系统的脉冲传递函数；第24页，课件共43页，创作于2023年2月一、状态空间表达式1.差分方程中不含有输入量差分项先看一个简单例子如果选取连续的三个时刻输出作为状态变量，令第25页，课件共43页，创作于2023年2月状态方程：向量、矩阵形式：或系统的状态图：第26页，课件共43页，创作于2023年2月

阶线性定常差分方程选取作为状态变量，则系统状态方程为输出方程第27页，课件共43页，创作于2023年2月2.差分方程中含有输入量差分项先看一个简单例子类似于连续系统选取状态变量的做法，即第28页，课件共43页，创作于2023年2月其中，待定系数可按下列方程求得系统状态方程输出方程第29页，课件共43页，创作于2023年2月可以写为系统状态图如图1－19。例1－8多输入多输出线性时变离散系统的状态空间表达式定常离散系统的状态空间表达式第30页，课件共43页，创作于2023年2月二、脉冲传递函数（矩阵）对于线性定常离散系统的差分方程形式或状态空间描述，通过变换，在初始松弛条件下，可求脉冲传递函数（矩阵），以方程(1-64)为例。第31页，课件共43页，创作于2023年2月第32页，课件共43页，创作于2023年2月例1－9如果系统为SISO线性定常离散系统，即系统脉冲传递函数为正则、严格正则第33页，课件共43页，创作于2023年2月第五节线性变换一、等价系统方程1.线性定常系统某个基底下的系统方程引入型非奇异变换矩阵，对状态变量进行线性变换。第34页，课件共43页，创作于2023年2月变换以后得到系统方程方程(1-70)经过基底变换(1-71)得到方程(1-75)，称这两个方程描述的系统为互为等价系统方程。2.线性时变系统引入型非奇异变换矩阵，且对所有都是非奇异且连续的。第35页，课件共43页，创作于2023年2月变换以后得到系统方程方程(1-76)经过基底变换(1-77)得到方程(1-81)，称这两个方程描述的系统为互为等价系统方程。二、线性变换的基本特性（要求自己能证明）1.线性变换不改变系统特征值（乘积的行列式等于各行列式的乘积）2.线性变换不改变系统的传递函数第36页，课件共43页，创作于2023年2月二、化系数矩阵A为标准形指一般型的A阵化为对角型、约当型、模态型特征向量：设是型矩阵A的特征值，若存在一个维非零向量使成立，则称为A的对于于特征值的特征向量1.当A阵的个特征值互异时，化A阵为对角阵对应每个特征值，求出特征向量，得到例1－10第37页，课件共43页，创作于2023年2月若A阵为如下形式范德蒙特(Vandermonde)矩阵。例1－11第38页，课件共43页，创作于2023年2月2.化A阵为约当（Jordan）形阵若矩阵A的n个特征值中有重特征值时，可分为虽有重特征值，但矩阵A仍有n个独立的特征向量，即每个重特征值所对应的独立特征向量数恰好等于重特征值的重数；和没有重特征值情况一样；阵A若有m个重特征值，能化为对角阵的充要条件是