高考数学总复习导数的应用大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第13章§13.2导数的应用大纲-A3演示文稿设计与制作§13.2导数的应用导数的应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考课时闯关·决战高考13.2双基研习·面对高考基础梳理1．函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)导数f′(x)的符号函数f(x)的单调性f′(x)>0在该区间内为_______f′(x)<0在该区间内为_______f′(x)＝0在该区间内为_________增函数减函数常数函数2.函数的极值与最值的辨析(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．<>(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是______

．②如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极小值．极大值f′(x)<0f′(x)>0思考感悟1．如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)>0，则f(x)是否一定是其定义域上的增函数？为什么？2．对于函数y＝x3，在x＝0处能取得极值吗？提示：在x＝0处不能取得极值．因为f′(x)＝3x2≥0恒成立．在x＝0两侧单调性没发生变化．课前热身1．(教材例题改编)函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为(

)A．1

B．－1C．3 D．11答案：D答案：D3．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是(

)A．1，－1 B．1，－17C．3，－17 D．9，－19答案：C4．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值为______．答案：65．函数f(x)＝x3－ax的减区间为(－2,2)，则a的值是________．答案：12考点探究·挑战高考考点一用导数研究函数的单调性考点突破若函数f(x)为连续函数，使f′(x)>0的x的取值区间为f(x)的增区间；使f′(x)<0的x的取值区间为f(x)的减区间，注意定义域．例1【思路分析】求f′(x)，并求解不等式f′(x)>0及f′(x)<0.【解】

f′(x)＝x2－(a2＋2)x＋(a2＋1)＝(x－1)[x－(a2＋1)]．∵a2＋1≥1，∴当a＝0时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上为增函数；当a≠0时，a2＋1>1，∴f′(x)>0时，x>a2＋1或x<1；f′(x)<0时，1<x<a2＋1.∴增区间为(a2＋1，＋∞)，(－∞，1)；减区间为(1，a2＋1)．【名师点评】

对于含有参数的函数研究单调性时，要根据参数是否影响f′(x)正负取值来确定是否讨论参数．考点二用导数求函数的极值对于求极值的问题，首先明确函数的定义域，并用导数为0的点把定义域分割成几部分，然后列表判断导数在各部分取值的正负，极值点从表中就很清楚地显示出来．例2求函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1(a≥1)的极值．【思路分析】由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a－1.①当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)没有极值．②当a>1时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：方法感悟x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表可知：当x＝0时，f(x)有极大值f(0)且f(0)＝1；当x＝a－1，f(x)有极小值f(a－1)且f(a－1)＝1－(a－1)3.综上所述：当a＝1时，f(x)没有极值；当a>1时，f(x)的极大值为f(0)＝1.【思维总结】

f′(x0)＝0只是x0为极值的必要条件．务必有在x0两侧f(x)单调发生变化，才能确定f(x0)为极值点．互动探究1若本例中的函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，在x＝0处取得极值．求a的取值．解：由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]显然f′(0)＝0恒成立．要使f(x)在x＝0处有极值．则f′(x)＝0必有两个不等根∴a－1≠0，∴a≠1.考点三用导数求函数的最值或值域(1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再判断，只需直接与端点的函数值比较即可获得．(2)当连续函数的极值只有一个时，相应的极值必为函数的最值．例3已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求f(x)的导数；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．【思路分析】

(1)第一问先展开，后对x求导，优于直接按积的导数求导；(2)第二问是利用导数求函数的最值，应注意最大(小)值是函数在f′(x)＝0的根处及端点处值的最大(小)者．【思维总结】此题省去了讨论单调性的过程，因x＝或x＝－1是极值点．若f′(x)＝0的点不是极值点时，必须要讨论单调性，确定极值．互动探究2若f′(－1)＝0，求f(x)在[0,1]上的值域．考点四生活中的优化问题生活中的利润最大、用料最省等优化问题，可转化为函数最值，结合导数求解．例4某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？【思路分析】

(1)可直接求关于t的二次函数的最值．(2)中可将收益看作关于x的函数．求其最值．【解】

(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．解得x＝－2(舍去)或x＝2，又当0≤x<2，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0，故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取得最大值．即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．【思维总结】

在(2)中g(x)只有一个极值，就是其最值．方法技巧方法感悟1．求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．如例1.2．求可导函数f(x)的极值的步骤①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如例2.3．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数的范围时．则根据f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立．注意验证等号是否成立．失误防范1．求函数单调区间时，要先求定义域，对于不连续的函数的单调区间不可用“∪”联结合并．2．利用极值求字母参数时，要注意将所求字母参数的值代入验证，是否符合取极值的条件．如例2.互动探究．考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年的高考试题来看，导数的综合应用是高考的热点之一，每年必考且题型多为解答题，题目难易程度属中、高档题，并且多为压轴题．主要是借用导数处理函数的单调性、极值、最值等问题，进而研究函数、数列的有关不等式．在2010年的高考中，各省市考题都对此进行了考查，如大纲全国卷Ⅰ和卷Ⅱ文科试题第21题，利用极值和单调性求字母参数的取值．重庆文第19题在讨论单调性的基础上，又求函数在闭区间上的最值．都是有关导数的常见题型．预测2012年导数的综合应用仍是高考的热点，会在一道解答题或压轴题中考查学生借用导数处理综合问题的能力，难度可能中等或较大．规范解答例【名师点评】本题主要考查了函数的求导、求极值、判断单调性及分类讨论思想、运算推理能力，属于中档偏上．此题入手容易，所以绝大多数考生在这个题目上都能得分．不过也有很多考生不能得满分，主要在第(2)问中分类讨论不全面，导致a的范围求错．漏掉a＝0的讨论很多．这是平时练习不规范导致的．名师预测已知函数f(x)＝x3－x2(x∈R)．(1)若f(x)在x＝1处取得极大值，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)＝－mx(m≤1)有三个不同的根，求实数m的取值范围．⇒感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反