高考数学总复习含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第1章§1.2含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法大纲-A3演示文稿设计与制作§1.2含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考1.2含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法双基研习·面对高考不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a_______∅|x|>ax>a或x<－a{x∈R|x≠0}_____双基研习·面对高考1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集∅基础梳理R(2)|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)的解法①|ax＋b|>c⇔___________________；②|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c.(3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法①|f(x)|<g(x)⇔______________________________；②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)，且f(x)、g(x)有意义．ax＋b>c或ax＋b<－c－g(x)<f(x)<g(x)且f(x)、g(x)有意义2．一元二次不等式的解集思考感悟1．|x|及|x－a|表示的几何意义是什么？提示：|x|表示数轴上的点x到原点的距离，|x－a|表示数轴上的点x到a点的距离．2．不等式|f(x)|>|g(x)|怎样求解？提示：在f(x)、g(x)都有意义的前提下|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)．课前热身1．(教材例4改编)不等式－x2＋2x－3≥0的解集为(

)A．∅B．RC．{x|x≥3或x≤－1}D．{x|－3≤x≤1}答案：A答案：B答案：B4．不等式|2x－6|≤4的解集为________．答案：{x|1≤x≤5}5．(原创题)不等式|x2＋2x＋3|>m的解集为R，则m的范围为________．答案：m<2考点探究·挑战高考考点一绝对值不等式的解法解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号，转化为一般不等式求解，去绝对值常用的方法是定义法和平方法．根据教材1.4中的例1、例2的解答方法，求解．考点突破

解不等式：(1)3<|2x－3|<5；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.【思路分析】

对于第(1)题，可从以下角度考虑：由于原不等式等价于|2x－3|>3且|2x－3|<5，因此可先分别解出两个绝对值不等式的解集，然后求其交集．对于第(2)题可利用零点分段法和绝对值的几何意义来解决．例1则原不等式的解集为(－1,0)∪(3,4)．(2)法一：分别求|x－1|、|x＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.当x<－2时，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x<5，因为3<5恒成立，所以－2≤x≤1时原不等式成立；当x>1时，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．【领悟归纳】这两个小题的解法中，法二用了绝对值的几何意义，比法一简单．第(1)题也可直接转化为：3<2x－3<5或－5<2x－3<－3两个不等式的并集．总之把绝对值不等式转化为不含绝对值不等式．考点二一元二次不等式的解法一元二次不等式的形式为ax2＋bx＋c>0(<0)(a≠0)．一元二次不等式的解题步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)看判别式Δ的符号；(3)求出相应一元二次方程的根(若根存在)；(4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结合不等号定解集．有时通过因式分解，直接求出方程的根．例2

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a>0)【思路分析】

因式分解→求根→比较根的大小→写出解集．互动探究若将例2中的条件改为“a<0”，求解这个不等式．这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数的图象结合起来，来解决问题．即一元二次方程根的分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题来求解．考点三一元二次方程与不等式、二次函数的关系

若1＜x≤2，不等式ax2－2ax－1＜0恒成立，求实数a的取值范围．【思路分析】

不等式的二次项系数为待定参数a，故要先分a＝0和a≠0两大类进行讨论，然后结合数形结合法求解．【解】法一：从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2]上恒成立，即f(x)＝ax2－2ax－1在x∈(1,2]时图象恒在x轴下方．当a＝0时，不等式变为－1＜0恒成立．当a≠0时，设f(x)＝ax2－2ax－1，对称轴x＝1，结合二次函数图象，例3(1,2]为f(x)的增区间，∴f(x)max＝f(2)＝－1＜0成立，∴a＞0.当a＜0时，f(x)对称轴为x＝1，区间(1,2]为f(x)的减区间，∴f(x)max＝f(1)＝－a－1≤0，∴a≥－1，∴－1≤a＜0，综上所述a≥－1.【思维总结】关于一元二次不等式恒成立问题，可以利用数形结合法，根据对称轴和区间的位置关系，列出不等式求解；也可转化为函数在某区间上的最大值恒小于零或最小值恒大于零的问题，通过求最值解决.方法感悟方法技巧1．绝对值的转化方法，就是依据绝对值概念和等价不等式，将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解．也可结合绝对值的几何意义去绝对值号，含两个以上绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号．如例1.2．解一元二次不等式时，应当考虑相应的一元二次方程，二次函数的图象根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小．如例2.失误防范1．在二次项系数没有转化为正号的情况下解不等式，在写解集时易出现把不等号的方向写反的错误．如课前热身12．在二次项系数含有参数时，不要直观认为就是二次不等式，易丢掉对系数为0的讨论，如例3.3．分类讨论结束后，要把各种情况进行综合归纳，如例3.4．对于|f(x)|，其取值为[0，＋∞)不能认为(0，＋∞)．如课前热身2.考向瞭望·把脉高考绝对值不等式与一元二次不等式是高中数学的基本内容，是高考命题的重点．试题的命制常以这两类不等式为载体，既考查不等式的解法，又考查对集合概念和运算的熟练掌握程度.2010年高考中，绝大多数省份试题以选择题、填空题形式出现，也有少数省份的高考题以解答题的某一步出现．考情分析如2010年上海22题，第(1)问是解绝对值不等式，一元二次不等式出现在与导数结合，研究函数性质，如单调性、极值等，这类问题较多．预测2012年的高考题对绝对值不等式和一元二次不等式仍坚持如上述内容的考查．(本题满分12分)(2010年大纲全国卷Ⅱ文)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．规范解答例(2)f′(x)＝3(x2－2ax＋1)＝3[(x－a)2＋1－a2]f(x)在(2,3)中至少有一个极值点，等价于f′(x)＝0在(2,3)中至少有一个根.8分若只有一个根，则f′(2)·f′(3)<0，即(4－4a＋1)(9－6a＋1)<0，<a<.10分若f′(x)＝0有两根在(2,3)中【名师点评】本题从外观上看，是利用导数研究函数的单调区间与极值，求导只是解题的入手点，而中间过程实质是解不等式，问题(1)是解一元二次不等式，问题(2)第一种情况是解关于a的一元二次不等式，第二种情况是求解关于a的一元一次不等式组，故本题的中心内容是转化为不等式求解，本题难度属于中档题，只要解不等式的基本过程掌握好，本题很容易成功．名师预测解析：选D.原不等式可化为|x＋1|<|x－1|∴x2＋2x＋1<x2－2x＋1.∴x<0.2．若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a等于(

)A．8 B．2C．－4 D．－8解析：选C.∵不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，∴它等价于方程|ax＋2|＝6的根为－1和2.把根代入即可确定参数a的值．答案：(－∞，－a]4．不等式(x－1)|x2－2x－3|≥0的解集是_____．答案：{x|x≥1或x＝－1}．感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论