高考数学总复习空间向量及其运算大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.4空间向量及其运算大纲-A3演示文稿设计与制作§9.4空间向量及其运算(B)

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.4空间向量及其运算(B)双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．共线向量、共面向量、空间向量三定理辨析(1)共线向量基本定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是____________________.存在实数λ，使a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc{a，b，c}|a||b|cos〈a，b〉λ(a·b)3．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i，j，k叫做__________，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．坐标向量(3)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝_________________________；a－b＝______________________；λa＝______________________；a·b＝______________________；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔______________________.(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面α或在平面α内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内．思考感悟2．在空间直角坐标系中：P(x，y，z)关于x轴、y轴、z轴的对称点如何？P(x，y，z)关于原点的对称点如何？P(x，y，z)关于xOy平面、yOz平面、zOx平面的对称点如何？记忆方法如何？提示：(1)P(x，y，z)关于x轴的对称点为P1(x，－y，－z)，关于y轴的对称点为P2(－x，y，－z)，关于z轴的对称点为P3(－x，－y，z)．(2)P(x，y，z)关于原点的对称点为P4(－x，－y，－z)．(3)P(x，y，z)关于xOy平面的对称点为P5(x，y，－z)，关于xOz平面的对称点为P6(x，－y，z)，关于yOz平面的对称点为P7(－x，y，z)．上述结论的记忆方法为：关于谁对称谁就不变，其余符号相反．例如：关于x轴的对称点横坐标不变，而纵坐标、竖坐标分别变为原来的相反数．课前热身答案：B2．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(

)A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．a∥b，b⊥c答案：C答案：B4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．5．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.答案：120°考点探究·挑战高考考点突破考点一空间向量的线性运算空间向量的线性运算可类比平面向量的线性运算，其依据是空间向量基本定理、平行四边形法则、三角形法则，参考教材例1.例1【思路分析】尽可能使第二个向量的起点与第一个向量的终点相结合，再使第三个向量的起点与第二个向量的终点相结合．空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，解决此类问题的关键是熟练应用公式，准确计算，参考教材例2.考点二空间向量的坐标运算例2【思路分析】

根据坐标的概念，首先寻找各点坐标，再求对应向量坐标．【思维总结】在空间直角坐标系中，无论是点还是向量，其坐标是三个实数组成的一组数，它们的运算也应是三个坐标的结果．互动探究在本例的正方体中，若a垂直平面D1AC，则称a为平面D1AC的法向量，求平面D1AC的单位法向量的坐标．利用向量证明平行，转化为向量共线，证明垂直转化为数量积为0.

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，点E、F分别为C1D1、A1B的中点．(1)求证：EF∥面BB1C1C；(2)求证：DF⊥面A1BE.考点三利用向量证明平行或垂直例3【证明】根据题意，以D为原点，棱DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，B1(1,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，B(1，2,0)，C(0,2,0)．【思维总结】解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量法，把证明直线与平面平行的问题转化为计算向量的问题；把求线面垂直转化为数量积的计算．方法技巧1．空间向量的加法、减法、数乘运算以及两个空间向量的数量积的定义、运算律与性质均与平面向量完全一样．2．选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示出所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求，如例1.方法感悟4．利用空间向量证明线面平行，只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b，已知直线的方向向量为a，证明a＝λb即可．如例3.5．利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量a，b，只要证明a⊥b，即a·b＝0即可．6．证明线面垂直：直线l，平面α，要证l⊥α，只要在l上取一个非零向量p，在α内取两个不共线的向量a、b，问题转化为证明p⊥a且p⊥b，也就是a·p＝0且b·p＝0.如例3.1．用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．如例1.2．共线向量不具备传递性，除去零向量时共线向量才具备传递性．3．要用共线向量定理证明向量a，b所在的直线平行，除证明a＝λb外，还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外．失误防范考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年的高考试题来看，常以解答题的形式考查有关平行、垂直的证明及夹角和距离的求法，由于空间向量仅作为解决问题的一种工具，因此考查的难度一般都不大．考查的热点在于利用空间向量的坐标运算将复杂的立体几何问题“代数化”，从而使问题化难为易．2010年的高考中，只有广东理第10题单纯地考查空间向量的坐标运算，其余各省市考题都是在解答题中以空间几何体为载体，恰当地建空间直角坐标系，灵活运用向量夹角公式求线线角、线面角、二面角，利用数量积解决线面、面面的垂直问题．预测2012年高考仍将以解答题的形式考查空间向量及其运算，难度一般都不大，尤其要重视恰当的空间坐标系的建立和准确的计算．垂直关系、线面角、二面角的考查仍会是重点．(本题满分13分)(2010年高考安徽卷)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．规范解答例【名师点评】本题重点考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判断与证明以及二面角的求法．本题的向量解法，计算量并不大，推理易于理解，但空间坐标系的建立并不轻松，有的考生并没有证明出FH⊥面ABC，就直接以H为原点建立了坐标系，这是不完备的．另外个别考生把其中一个平面的法向量找错得出〈n1，n2〉＝120°时，没有根据图形得到B－DE－C的大小，正确结果，而得出120°的大小．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1＝2，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，P为侧棱BB1上不同于点B、B1的动点．(1)求证：D1P⊥AC；(2)当二面角D1－AC－P的大小为120°时，求BP的长．名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3