概率论课件2015年9月经管类第二章05节

§5

随机变量函数的分布随机变量的函数：设X

是一随机变量，Y

是X

的函数，Y=g(X),则Y一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布研究内容也是一个随机变量．当X

取值x时，Y

取值y

=g(x)问题如何根据已知的随机变量

X的分布求得随机变量Y

=

f

(

X

)的分布?一、离散型随机变量的函数设X

是离散型随机变量，其分布律为P{X

=

xn

}=

pnXx1

x2(n

=1, 2

,

)，

xn

Pp1

p2

pn，

或Y是X

的函数：Y

=g(X

)，则Y也是离散型随机变量，它的取值为y1

，

y2

，

，

yn

，

其中

yn

=

g(xn

)

(n

=1，

2，

)设离散型随机变量X

的分布律为-3-1026915153570126252252252252252252-9-5-3191515153570126252252252252252252P随机变量Y

=2

X

-3，试求Y

的分布律．解：随机变量Y

=2

X

-3的取值为-

9，

-

5，

-

3，

1，

9，

15，两两互不相同,得随机变量Y的分布律为:YP例1.Xpk试求

Y

=

(X-1)2

的分布律.

X-1

0

120.2

0.3

0.1

0.4YX-10124101解:

随机变量

X、Y的取值为：Y

有可能取的值为0,1,4.例2.

设随机变量X

具有以下的分布律，Y=0

对应于X=1,P{Y=0}=P{X=1}=0.1；Y=1

对应于X=0、2,P{Y=1}=P{X=0∪X=2}=0.7；Y=4

对应于X=-1,P{Y=4}=P{X=

-1}=

0.2。pk40

10.1

0.7

0.2所以，Y=(X-1)2

的分布律为：Y得随机变量Y

的分布律为：P{Y

=yn

}=pn第一种情形：y1

,

yn

,

两两不同则由：P{Y

=

yn

}=

P{X

=

xn

}

(n

=1，

2，

)第二种情形：y1

,

yn

,

有相同的20

不相同的项，同第一种情况的处理。即可得随机变量Y

=g(X)的分布律。10

把相同的项合并(看作是一项)——把相应的概率相加；二.连续型随机变量函数的分布设X

是一连续型随机变量，其密度函数为f

X

(x)，再设Y

=

g(X

)是

X

的函数，我们假定Y

也是连续型随机变量．我们要求的是

Y

=

g

(X

)的密度函数

fY

(y)．

0,

其它.0

<

x

<

4,

x

,f

(

X

)

=

8X例3.

设随机变量X

具有概率密度：试求

Y=2X+8

的概率密度.FY

(

y)

=

P{Y

£

y}

=

P{2X

+8

£

y}-¥=2fX

(x)dx.解：(1)先求Y

=2X+8

的分布函数FY(y)：不需要求出积分y-8(2)

利用fY

(y)=FY

(y)求得：2

2XYYf

y)=

Fy)=

f

(

y

-8)·(

y

-8)=¢其它20

<

y

-8

<

41

(

y

-8)·

18

2

200,其它.8

<

y

<16,

y

-8

,Y整理得

Y=2X+8

的概率密度：f

(

y)

=

32j(

x)y

(x)j(x)]j

(x)-

f

[y

(x)]y

(x).¢

¢f

(t)dt,F

(x)

=

f

[¢F(x)

=FY

(y)=

P{Y

£

y}=

P{g(X

)£

y}=g

(

X

)£

y

f

X

(x)dx设X

是一连续型随机变量，其密度函数为f

X

(x)，再设Y

=g(X

)是X

的函数，求Y

=g

(X

)的密度函数fY

(y)．解题思路和方法(分布函数法)⑴．先用积分求Y

=g(X

)的分布函数⑵．再求导，利用Y

=

g(X

)的分布函数与密度函数之间的关系求Y

=

g(X)的密度函数

fY

(y)=

FY¢(y)变限的定积分求导公式：例4.

设随机变量

X

具有概率密度f

X

(x),

-¥<x<¥,求Y=X2的概率密度.解：(1)先求Y

=X

2

的分布函数FY(y)：10由于Y

=

X

2

‡

0,

当

y

£

0

时,

{Y

£

y}为不可能事件{Y

<

y}故FY

(y)=0.与0概率事件{Y

=y}之和,20当

y

>

0

时,

F

(

y)

=

P{Y

£

y}

=

P{X

2

£

y}=

P{-Yy

£

X

£

y}

=

y-

yXf

(x)dx.y-

yXYf

(x)dx.即得：F

(

y)