灰色预测方法

灰色预测方法第1页，课件共72页，创作于2023年2月8.1灰色系统基本原理与灰数1、差异信息原理：差异即信息，凡信息必有差异。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。4、认知根据原理：信息是认知的根据。5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。6、灰性不灭原理：“信息不完全”是绝对的。一、原理第2页，课件共72页，创作于2023年2月二、灰数及其运算

1、灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数，通常记为：“”。例如：（1）多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。（2）多么大的苹果算大苹果，小苹果。2、灰数的种类（1）仅有下界的灰数。有下界无上界的灰数记为：∈[a,∞]、∈(a)第3页，课件共72页，创作于2023年2月（2）仅有上界的灰数。有上界无下界的灰数记为：∈[-∞,a]（3）区间灰数既有上界又有下界的灰数：∈[a,a]（4）连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值的灰数为离散灰数，取值连续地取满整个区间的灰数为连续灰数。（5）黑数与白数当∈（-∞，∞）或∈(1,2)，（即当的上界、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称为黑数，当∈[a,a]且a=a,时，称为白数。第4页，课件共72页，创作于2023年2月（6）本征灰数与非本征灰数

本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。则称此白数为相应灰数的白化值，记为并用(a)

表示以a为白化值的灰数。如：托人代买一件价格为100元左右的衣服，可将100作为预测衣服价格(100)的白化数，记为第5页，课件共72页，创作于2023年2月（7）信息型灰数

因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。但到一定的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰数。（8）概念型灰数，也称意愿型灰数

指由人们的某种概念、意愿形成的灰数。（9）层次型灰数

指由层次的改变形成的灰数。(宏观白,微观灰)第6页，课件共72页，创作于2023年2月3、区间灰数的运算设灰数1

∈[a,b],2∈[c,d](a<b,c<d)(1)1

+2∈[a+c,b+d](2)-1

∈

[-a,-b](3)1

-2=1+(-2)∈[a-d,b-c](4)1

·

2∈[min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}](5)1/

2

∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}](6)若k为正实数，则：k1∈[ka,kb]第7页，课件共72页，创作于2023年2月（2）对一般的区间灰数，将白化取值为4.灰数白化与灰度（1）有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白化比较容易，可将其基本值为主要白化值。可记为其中为忧动灰元。此灰数的白化值为定义：形如的白化称为等权白化。第8页，课件共72页，创作于2023年2月定义：在等权白化中而得到的白化值称为等权均值白化。在区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。在灰数的分布信息已知时，常采用非等权均值白化。如：如：某人2000年的年龄可能是40岁到60岁，根据了解，此人受初中级教育12年，且20世纪60年代中期考入大学，故此人的年龄到2000年为58左右的可能性较大。或者在56岁到60岁的可能性较大。注：白权化函数被用来描述一个灰数对其取值范围内不同数值的“偏爱”程度。第9页，课件共72页，创作于2023年2月定义：设区间灰数1

∈[a,b],2∈[c,d](a<b,c<d)当时，称1与2取数一致；当时，称1与2取数不一致。定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型的白化权函数。f(x)10x1x2x3x4L(x)R(x)x第10页，课件共72页，创作于2023年2月定理1：区间灰数不能相消、相约。即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数的取数一致时，灰数的自差才等于0。如：∈[2，5]，=0取数一致

∈[-3，3]

取数不一致=1取数一致∈[2/5，5/2]

取数不一致

如：/

－

灰度：是灰数的测度。

灰度在一定程度上反映了人们对灰色系统之行为特征的未知程度。它与相应定义信息域的长度及其基本值有关。第11页，课件共72页，创作于2023年2月8.2灰色预测概念

一、灰色预测的概念（1）灰色系统、白色系统和黑色系统

白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。

黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。

灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。第12页，课件共72页，创作于2023年2月

用灰色数学来处理不确定量，使之量化。

（2）灰色系统特点

充分利用已知信息寻求系统的运动规律。关键：如何使灰色系统白化、模型化、优化灰色系统视不确定量为灰色量，提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能用时间序列来确定微分方程的参数。灰色系统理论能处理贫信息系统。（只要求较短的观测资料即可）第13页，课件共72页，创作于2023年2月

灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。

（3）灰色预测法

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

第14页，课件共72页，创作于2023年2月

灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

（4）灰色预测的四种常见类型•灰色时间序列预测即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

第15页，课件共72页，创作于2023年2月•畸变预测即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

系统预测

通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。拓扑预测

将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。第16页，课件共72页，创作于2023年2月四种方法共同点：

（1）允许少数据预测；（2）允许对灰因果律事件进行预测，如：1）灰因白果律事件：粮食预测，影响因素很多，是灰因；然而粮食产量是具体，是白果。2）白因灰果律事件：项目开发预测，投入是具体，为白因；而收益暂时不清楚，为灰果。3）具有可检验性：含建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。第17页，课件共72页，创作于2023年2月

二、生成列

为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

（1）数据处理方式第18页，课件共72页，创作于2023年2月累加是将原始序列通过累加得到生成列。累加的规则:

将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。第19页，课件共72页，创作于2023年2月记原始时间序列为：生成列为：第20页，课件共72页，创作于2023年2月

对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。同理，可作m次累加：第21页，课件共72页，创作于2023年2月累减

将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列

累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式为：第22页，课件共72页，创作于2023年2月例原始数据为第23页，课件共72页，创作于2023年2月三、关联度

关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数设则关联系数定义为：第24页，课件共72页，创作于2023年2月式中：

为第k个点ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；

对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。的绝对误差；和为两级最小差；为两级最大差；第25页，课件共72页，创作于2023年2月（2）关联度和的关联度为：例:工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：

工业农业运输业商业参考序列分别为，被比较序列为,试求关联度。

第26页，课件共72页，创作于2023年2月解：以为参考序列求关联度。

第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。得到：x=[45.843.442.341.9];x1=x./45.8第27页，课件共72页，创作于2023年2月第二步：求序列差第三步：求两极差第28页，课件共72页，创作于2023年2月x1=[1,0.9475,0.9235,0.9138];x2=[11.0631.12271.1483];x3=[10.971.02941.0294];x4=[11.01490.8050.7];y2=abs(x2-x1)y3=abs(x3-x1)y4=abs(x4-x1)v=max([max(y2)max(y3)max(y4)])u=min([min(y2)min(y3)min(y4)])savegldy2y3y4uvv=0.2345u=0第29页，课件共72页，创作于2023年2月第四步：计算关联系数

取ρ=0.5，有：

从而：

第30页，课件共72页，创作于2023年2月第五步：求关联度

计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。

为参考序列时，计算类似，这里略去。第31页，课件共72页，创作于2023年2月aita2=1.00000.50380.37050.3333aita3=1.00000.83900.52540.5035aita4=1.00000.63500.49730.3542loadgldr=0.5aita2=(u+r*v)./(y2+r*v)aita3=(u+r*v)./(y3+r*v)aita4=(u+r*v)./(y4+r*v)r12=(1/4)*sum(aita2)r13=(1/4)*sum(aita3)r14=(1/4)*sum(aita4)r12=0.5519r13=0.7170r14=0.6216第32页，课件共72页，创作于2023年2月8.3灰色预测模型一、GM（1，1）模型的建立

设时间序列有n个观察值：通过累加生成新序列

令为的紧邻均值生成序列

第33页，课件共72页，创作于2023年2月则GM（1，1）的灰微分方程模型为：

其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。设为待估参数向量，可利用最小二乘法求解。解得：其中第34页，课件共72页，创作于2023年2月第35页，课件共72页，创作于2023年2月称微分方程：

为灰色微分方程的白化方程，也称影子方程。（1）白化方程的解也称时间响应函数，其为（2）GM（1，1）灰微分方程的时间响应序列为第36页，课件共72页，创作于2023年2月（3）取

（4）还原值

注：（1）原始数据不一定全部用来建模，数据不同，模型不同。

（2）数据的取舍应保证建模序列等时矩、相连，不得有跳跃出现。

（3）一般建模数据应当有最新的数据及其相邻数据构成。第37页，课件共72页，创作于2023年2月二、模型检验（1）残差检验按预测模型计算并将累减生成然后计算原始序列与的绝对误差序列及相对误差序列。灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。给定a,当成立,称模型为参差合格模型.a取0.01、0.05、0.1所对应的模型分别为：优、合格、勉强合格第38页，课件共72页，创作于2023年2月（2）关联度检验根据前面所述关联度的计算方法算出与原始序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。第39页，课件共72页，创作于2023年2月（3）后验差检验a.计算原始序列标准差:b.计算绝对误差序列的标准差：c.计算方差比：第40页，课件共72页，创作于2023年2月d.计算小误差概率：令:，则P>0.95>0.80>0.70≤0.70C<0.35<0.50<0.65≥0.65

好合格勉强合格不合格第41页，课件共72页，创作于2023年2月例某矿某年3-7月份的轻伤事故情况如表所示:原始数据列为：

累加生成数列为：

月份34567轻伤人次2629313334

表1轻伤事故人次第42页，课件共72页，创作于2023年2月第43页，课件共72页，创作于2023年2月所以

其中α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。第44页，课件共72页，创作于2023年2月所以，

即事故预测公式为：第45页，课件共72页，创作于2023年2月生成数列的预测值、原始数列的还原值分别如表所示。

为了得到原始数列的预测值，需要将生成数列的预测值作累减还原为原始值，即根据下式求得：表2生成数列的预测值与误差检验-0.03153.0315340.30118.701193-0.1486.14862-0.2755.27551026260k第46页，课件共72页，创作于2023年2月表3原始数列的还原值与误差检验

12626022929.27-0.2733130.870.1343332.560.4453434.33-0.33平均值30.630.606-0.006k第47页，课件共72页，创作于2023年2月数据方差和残差方差分别为：

后验差比值为：小误差频率

第48页，课件共72页，创作于2023年2月所以

根据和的评价标准（表3），本例题的预测结果的评价等级为“好”。第49页，课件共72页，创作于2023年2月可对8月的轻伤事故进行预测即根据预测，如果不能采取更有效的事故预防措施的话，下一月份的轻伤事故人次将是36人。采用第50页，课件共72页，创作于2023年2月三、GM(1,1)模型应用实例的MATLAB实现解

(1)累加生成数列为：

年份199920002001200220032004销售额2.673.133.253.363.563.72建立GM（1，1）预测模型，并预测2005年产品销售额

原始数据列为：

{2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72}

{2.67005.80009.050012.410015.970019.6900X0=[2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72];X1(1)=X0(1)fork=2:6X1(k)=X1(k-1)+X0(k)end第51页，课件共72页，创作于2023年2月(2)构造数据矩阵B和数据向量Y：

z=

04.23507.425010.730014.190017.8300loadhslitifork=2:6z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1))endB=-4.23501.0000-7.42501.0000-10.73001.0000-14.19001.0000-17.83001.0000Y=3.13003.25003.36003.56003.7200B=[(-z(2:6))'ones(5,1)]Y=(X0(2:6))'第52页，课件共72页，创作于2023年2月(3)计算系数

alfa=-0.04402.9256alpha=inv(B'*B)*B'*Y(4)得出预测模型

u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uu=-66.5503v=69.2203第53页，课件共72页，创作于2023年2月(5)进行参差检验

得u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uforn=0:6X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+uendX2u=-66.5503v=69.22031）根据预测公式，计算

X2=2.67005.78099.031512.428315.977719.686723.5623第54页，课件共72页，创作于2023年2月得X3(1)=X2(1)form=1:6X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)end2）累减生成序列

X3=2.67003.11093.25073.39683.54943.70893.8756而原始数据为{2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72}

3）计算绝对参差和相对参差序列

绝对参差序列

daita0=0.00000.01910.00070.03680.01060.0111daita0=abs(X0-X3(1:6))第55页，课件共72页，创作于2023年2月相对参差序列

kesi=0.00000.00610.00020.01090.00300.0030kesi=daita0./X0平均相对参差

meankesi=mean(kesi)meankesi=0.0039<0.01而模型精确度高第56页，课件共72页，创作于2023年2月（6）进行关联度检验

1）计算绝对参差序列2）计算关联系数aita=(min(daita0)+0.5*max(daita0))./(daita0+0.5*max(daita0))aita=1.00000.49010.96450.33330.63480.62443）计算关联度=0.6745>0.6的检验准则meanaita=mean(aita)=0.6745第57页，课件共72页，创作于2023年2月（7）进行后验差检验

1）计算X0均值、均方差X0mean=mean(X0)=0.2817X0std=std(X0)=0.3671daita0mean=mean(daita0)=0.0130daita0std=std(daita0)=0.0137C=0.03724）计算小参差概率2）计算参差均值、均方差3）计算C=daita0std/X0stdS0=0.6745*X0stdS0=0.2476e=0.01300.00610.01240.02370.00250.0020e=abs(daita0-daita0mean)对所有的e都小于S0，故小参差概率P=length(find(e<S0))/length(e)C=0.0372<0.35,故预测模型是合格的。而同时第58页，课件共72页，创作于2023年2月(8)预测

得即2005年的产品销售额预测值为4.0498亿元。u=-66.5503v=69.2203X2006=4.0498X2005=X3(7)X2(8)=v*exp(-alpha(1)*7)+uX3(8)=X2(8)-X2(7)X2006=X3(8)即2005年的产品销售额预测值为3.8756亿元。即2006年的产品销售额预测值为4.0498亿元。第59页，课件共72页，创作于2023年2月四、GM(1,1)参差模型可获得生成序列的预测值若用原始序列建立的GM(1,1)模型

对于参差序列若存在，使得当时，的符号一致，且则称参差序列为可建模参差尾部。第60页，课件共72页，创作于2023年2月的累加生成序列其GM(1,1)时间响应式为计算参差序列得修正模型其中正负号取值与参差尾部符号一致第61页，课件共72页，创作于2023年2月如果考虑得系统由若干个相互影响的因素组成：为系统特征数据序列，而其相关因素序列有

为的紧邻均值生成序列

五、GM(1,N)模型设为的累加生成列，第62页，课件共72页，创作于2023年2月则GM（1，N）的灰微分方程模型为：

可利用最小二乘法求解。解得：其中第63页，课件共72页，创作于2023年2月称微分方程：

为灰色微分方程的白化方程，也称影子方程。（1）白化方程的解（响应序列形式）为第64页，课件共72页，创作于2023年2月

（2）累减还原值

（1）建立模型常用数据有：科学试验数据、经验数据、生产数据、决策数据；（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据；

（3）一般非负序列累加生成后，得到准光滑序列，对于满足光滑条件的，即可建立GM模型；

（4）模型精度可以通过不同的灰数生成方式，数据的取舍，序列的调整、修正以及不同级别的参差GM模型补充得到提高；建模的思路：

（5）灰色系统理论采用参差检验、关联度检验、后验差检验三种方法检验，判断模