D24多元函数积分学一(50p)课件

D24多元函数积分学一(50p)6、露凝无游氛，天高风景澈。7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。8、吁嗟身后名，于我若浮烟。9、陶渊明（约365年—427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。10、倚南窗以寄傲，审容膝之易安。D24多元函数积分学一(50p)D24多元函数积分学一(50p)6、露凝无游氛，天高风景澈。7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。8、吁嗟身后名，于我若浮烟。9、陶渊明（约365年—427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。10、倚南窗以寄傲，审容膝之易安。高等数学考前辅导中北三教授数学考研面授辅导班住址：北苑小区38号楼7单元502室报名咨询热线讲教师柳林第十、十一章第十、十一章多元函数积分学(50)一、知识点与考点精讲二、典型例题分析与解答创新是一个民族进步的灵魂，是实施素质教育的关键，因此，什么是创新教育？在化学教学中怎样培养创新能力？这是我们研究的重点课题。下面，我就来谈谈几点认识。一、要改革化学课堂教学方式，让化学课堂充满创新活力（一）改变观念，营造宽松氛围，培养创新品质。中外心理学家研究，发现许多有高创造力的学生往往具有顽皮、淘气、所作所为时常逾越常规等特征。所以，培养学生的创造素质，首先需要营造一个自由、和谐、相互尊重的教学环境。例如，在演示化学实验时，学生总是忍不住挤到讲台前观看；提出一个问题后，学生往往是前后左右纷纷讨论起来，得出的结论也是五花八门；还有一些学生提出一连串的为什么，使老师不能随口回答。这就表明学生的积极性被调动了起来，他们完全融入了课堂中，他们有表达的欲望、有相互交流的愿望。这时老师要充分理解学生的行为、欣赏学生的见解、分享学生的乐趣。这样民主宽松的氛围，缩短了师生间的情感距离，学生就勇于发现问题，敢于发表自己的见解和看法，从而使他们的创新品质自然地得到培养和发挥。（二）精心设计教学环节，培养学生的创新思维，鼓励学生以自己的方式质疑问题。创造思维是发明创造的基地。培养学生的创新精神必须把创造思维的培养放在首位。要培养学生创造思维必须要激发学生广泛的想象，引导学生克服惰性、刻板、僵化、呆滞的思维定势。要让学生敢于怀疑名家的结论，以自已的方式质疑问题，使他们敢想敢干、敢于标新立异，大胆猜测。启发学生在教学活动中一题多解、多路思考。要激发学生的好奇心，好奇心是激发创造思维的动力。化学实验变化无穷，通过一些有趣的实验可以激发学生的好奇心，激发他们的发散思维。因此我们要加大化学实验教学的力度，除了必须完成大纲规定的演示实验、学生实验外，还可以介绍一些改进的新实验、家庭小实验，吸引学生去观察，使他们不断地对多种事物感趣，产生强烈、广泛的好奇心，促进创造思维的发展。与此同时使学生的实践能力也得到提高。1.创设意景，鼓励学生进行思考、猜想，并养成讨论的习惯。开发创造性思维往往表现为直觉思维，非本质的次要的环节往往被忽视，思维结果往往以“顿悟”形式出现。因此，教师应有意识地创设有一定模糊度的问题，给学生以利用原有知识进行分析、猜想的机会从中探索发现，大胆猜答案。例如：在初中化学教材第五章学到二氧化碳的性质时，有一个实验，是在一个大烧杯中放入一高一低两根燃着的蜡烛，倒入二氧化碳，结果是低处的蜡烛火焰先熄灭，高处的蜡烛后熄灭。以此说明二氧化碳不能燃烧、不支持燃烧而且密度大于空气。我们可以把这个实验稍微变动，把这烧杯倒罩在这两根蜡烛上，同样通入二氧化碳，结果发现是高处的蜡烛先熄灭，低处的蜡烛后熄灭，在解释它的现象时学生学到了二氧化碳的另一个新知识：即在温度大于25摄氏度时，二氧化碳的密度是小于空气的密度的。2.培养求异思维，逆向思维。要引导学生进行变式学习，即变换学习材料的限制因素和条件，变换提供材料的形式，从而启发学生多方面、多维度寻找解决问题方法的学习形式。如一题多解、一题多变。例如：我们在讲述初中化学教材第七章溶液的定义时，主要要强调它“均一”“稳定”“混合物”这个特征。我们可以这样问学生“水是溶液吗？”学生在寻找答案时可以这样：假设水是溶液，那么根据溶液的定义，它应该是混合物，而实际上水是纯净物，由此与溶液的定义相矛盾，这样就得出了“水不是溶液”这个答案。二、努力开发学生的非智力因素，培养学生创造的欲望和动机开发学生的非智力因素更有利于学生挖掘自身的内在潜力，正常地甚至超常地发挥自己的智力作用，以此激发学生的创新兴趣，调动学生的创新欲望，提高他们主动的创新意识。我们要培养学生的创新精神，首先要在教学活动中，认真地进行德育渗透，帮助学生逐步树立远大的理想，高尚的事业和责任感能使他们产生强烈的创新欲望。教师要在整个教学活动中培养学生的自信心，培养不怕失败、不畏逆境、不屈不挠的坚强意志。要进行成功的教育，要使学生认知到创新思维是漫长而又艰难的认识过程，不具备百折不挠的坚定意志和毅力就不可能取得成功。要承认学生个体间的历史差异，对不同层次的学生提出不同的要求，使他们都有获得成功的机会。还要给学生以成功的期待。这种期待具有巨大的感召力和推动力，能激起学生的潜在力，激发学生的创造力。要培养学生人格上的独立性，使他们能坦然地对客观事物大胆质疑依靠自己的思考去作决定，不盲从，不轻附众议。要充分发挥教学评价的激励功能，正确判定教学状况，激发学生向更高目标迈进的积极性和创造性，鼓励学生敢于表现自我，敢于战胜困难，对学生受到的挫折给予理解和鼓励，帮助他们分析失败和原因，树立学习的信心。三、师生共同努力，营造良好的创新氛围一个人创造精神的养成既有赖于个人的主观因素（内部环境），也不赖于他的客观因素（外部环境）。良好的环境能积极地促进创造活动，有利于创新精神的培养。要为学生提供丰富多样的信息源。学校要加强图书馆和现代化教学手段的建设。开放实验室、大力把电脑引进课堂，为学生建立良好的环境，让学生掌握获取知识、采集知识的能力和方法。要引导学生接触社会、生产、生活的实际。让学生在实践中多动脑多动手，不怕失败，在失败中取得经验和教训。教师要实行教学民主。师生彼此尊重、教学相长，学生的创造力才能得到充分发挥。当前在化学课堂教学中，首先要突破目前课堂教学中偏向教师讲，学生听的以教为中心的模式，真正体现以学生为主体的素质教育课堂教学的特征。要开展合作学习，营造创新，创造的氛围。要让学生明了每个人都能创新，要让每个学生都有平等的机会创新、讨论和解答问题。要积极开展综合实践课，认真开展研究性的学习，认真上好活动课。要通过小发明、小创造、小实验等活动及其他开创性劳动，让学生动手动脑，取得认识事物及其变化的亲身体验，掌握发现问题和解决问题的办法，使他们勇于独立思考，标新立异。美籍数学家波利亚曾认为，“数学的解题能力是一种很好的培养人的数学思维的途径。”作为担负我国选拔人才平台中最主要方式的高考，自1978年开始恢复高考至今，她已经走过了36个春秋。研究高考的命题规律对探索国家人才培养策略以及改进高中数学教学都有着重大的现实意义。数学家克莱因先生曾说过：“数学它是一种精神，一种理性的精神，然而正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，它试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；它试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”数学精神主要有数学求真精神、数学理性精神、数学创新精神、数学独立思考精神等，数学思想正体现着数学精神，它包涵大胆而智巧的想象、丰富而奇特的直觉、奥妙而严谨的构思，缜密而严肃的推理，它结合具体的数学方法一起构成了数学的思维特质。作为数学基本思想方法之一的分类讨论思想方法，它不仅是数学思想的重要组成部分，而且还是一种逻辑性的解题方法。与此同时，高考数学试题中的综合题历年来都是高考命题中的最后堡垒，它也是每年高考时段广大师生谈论最多的焦点题目，故此，分类讨论思想方法在高考数学综合题中扮演一个重要的角色，又担负着培育新时代人才的职责与使命。一、纵向比较分析本研究通过纵向比较，分析了北京市2003年至2014年、上海市2010年至2014年、广东省2007年至2014年以及新课程标准卷2007年至2014年等共34套高考数学试卷的综合题情况。现将这34套高考数学卷中蕴含有分类讨论思想方法的综合题目所考查的知识点情况分别列表如下：【结果分析】通过对这些试卷所涉及的考点进行调查研究分析，分类讨论思想方法在历年来的各省市的数学试卷中都有所体现，主要渗透于圆锥曲线、不等式证明、函数性质、综合数列、实际问题、新定义探索等板块知识应用过程中，尤其在综合研究函数的性质特征与圆锥曲线方面的应用最为明显。二、横向比较分析本研究通过横向比较，分析了2013年全国各省市高考数学16套试卷以及2014年全国各省市高考数学15套试卷所涉及分类讨论思想方法应用的综合题分布情况，这些综合题的解答过程基本上都需要应用分类讨论思想方法才能完成题目。按照分类讨论思想方法在高中数学各个知识点中的应用情况，现在将这些蕴含分类讨论思想方法的综合题目所考查的知识情况分别展示如下：2013年全国各省市高考数学涉及分类讨论思想方法运用的综合题分布情况【统计分析】统计结果表明，在2013年与2014年全国10多种不同的高考数学卷的综合题中，每一套数学试卷中至少有一道题目考查了分类思想方法的运用，甚至某些省份高考数学试卷中有多达到三道综合题目都涉及分类讨论思想方法的应用。一方面，这些综合题目多集中于整套试卷的尾部，难度一般都处于中档以上，这类试题也通常作为整套数学试卷中区分度最高的试题，因此这类试题无疑成了历年高考数学试卷压轴部分的常备主力军。另一方面，这些数据表明了分类讨论思想方法渗透的知识点多集中于不等式证明、综合数列、圆锥曲线以及函数性质研究，尤其在考查函数综合性质特征等方面运算量之多、思维力度之深、讨论范围之宽都往往是其它题目无法比拟的，同时对于高考这样一个大型选拔性考试，它几乎是每年高考数学都要必考的一个项目。三、结束语分类讨论思想方法是中学数学基本思想方法的重要组成部分，在中学数学教学中占据着不同寻常的地位，在教材中也能够随处见到分类思想的各种运用。它不仅是数学教学中的重点、难点，也是多年来高考数学中常考、必考的内容。它不仅是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。近年来，在全国各省市高考数学试卷中渗透有分类讨论思想方法的试题也是逐渐增多，尤其体现在分类讨论思想方法在高考数学综合题中考查与应用。这些综合题一般都是命题者精心设计、构思巧妙的好题，其试题往往新颖独特，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生综合理解能力、自学能力等方面都提出了更高的要求。分类讨论思想方法为高考数学提供了思维的练兵场，成为考查学生处理复杂问题能力的试金石。最主要的是高考题要考查学生处理复杂多变问题、解决现实模型等综合能力，这就需要有一个比较公平同时又具有区分度的载体，与此同时分类讨论思想方法正是提高学生数学素养的一个重要法宝，也是考查学生对未来数学学习潜能的一个良好途径。因此，一方面如何引导学生观察、发现引起分类讨论的原因，如何通过分析、学会化整为零、各个击破，恰如其分地正确运用分类思想，这将是每一个高中数学教师都需要面临的一个重要问题。数学教师需要通过多角度的案例教学进行培养学生这方面的能力与素质，这也是数学教育势在必行的一项任务。教师可以从理论与实践两方面加强对学生这方面能力的培养与提升。教师也可以从身边教学实践出发，结合教学经验或教学智慧，找到培养与渗透分类思想方法的一些办法。另一方面，分类讨论思想方法对培养学生思维的条理性与缜密性，在提高学生全面分析与解决问题能力等方面都起到了十分关键的作用。所以，在高考数学综合题中渗透的分类讨论思想方法是考试中培养学生的严谨精神，开辟出能够增长学生科学、合理解决问题本领的一条有效途径。然而，通过调查发现，许多学生对这一种思想方法的掌握情况并不乐观，甚至有些学生对分类讨论思想方法抱有一种恐惧的心理。正因如此，在新课程改革的背景下大力改进分类讨论思想方法的相关教学更有着密切的现实意义。高考数学综合题是试卷的精华部分，这些题目命制的宗旨也是为了国家选拔优秀人才的需要。高考数学综合题在命制过程中往往蕴含着深刻的数学思维方法，而且试题本身也往往具有一定的深刻性与迷惑性。它是区分学生解题思维能力水平、保证高考试题区分度的一个重要体现。因此，高考数学综合题里面蕴含着许多分类讨论思想方法，其在解答试题的过程中常常是精深奥妙的，试题命制技巧也是匠心独具。无论是这些分类讨论思想方法的具体应用，还是试题本身的解题技巧都值得教师深入的研究。故此，本文建议教师认真领会分类讨论思想方法以及在综合题中命制思想与技巧，或者通过逆向工程法剖析高考专家组精心命制的试题，从中领悟那些试题背后隐藏的深意，以期改进自身的教学。高等数学考前辅导中北三教授数学考研面授辅导班

住址：北苑小区38号楼7单元502室报名咨询热线讲教师柳林第十、十一章第十、十一章多元函数积分学(50)一、知识点与考点精讲二、典型例题分析与解答一、知识点与考点精讲(一)重积分2.二(三)重积分的性质非均匀空间体的质量三重积分的物理意义:1.二(三)重积分的概念与几何和物理意义二重积分的几何意义:曲顶柱体的体积物理意义:非均匀平面薄片的质量性质1.(与定积分类似)则有性质4.性质5.若性质3.则有若性质2.其中为D的面积.若则有推论1若则有推论2性质7.若f(x,y)是D上的连续函数,一点(,),成立,其中表示D的面积.则有①如果积分区域D关于x轴上下对称,则在D上至少存在性质8.(对称性)则有0,其中为D的面积.

f(x,y)关于y是偶函数,f(x,–y)=f(x,y)即有:f(x,y)关于y是奇函数,f(x,–y)=–f(x,y)性质6.若M和m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值,使等式②如果积分区域D关于y轴左右对称,即有:则有0,

f(x,y)关于x是奇函数,f(–x,y)=–f(x,y)

f(x,y)关于x是偶函数,f(–x,y)=f(x,y)③如果积分区域D关于原点对称,即有:则有0,

f(x,y)关于x,y是奇函数,f(–x,–y)=–f(x,y)

f(x,y)关于x,y是偶函数,f(–x,–y)=f(x,y)被积函数的奇偶①利用对称性计算二重积分时,②对于三重积分也有类似的对称性.注意:即f(x,y,–z)=–f(x,y,z),性与积分区域的对称性必须匹配.

若f(x,y,z)关于z是奇函数,若积分区域关于

xoy坐标面上下是对称的,则有若f(x,y,z)关于z是偶函数,即f(x,y,–z)=f(x,y,z),则有在xoy

坐标面上方的部分为若积分区域关于xoz坐标面或yoz坐标面对称时,

也有类似的性质.而被积函数有相应的奇偶性时,3.重积分的计算法①利用直角坐标计算二重积分若积分区域D可表示为则二重积分可化为二次积分:若积分区域D可表示为则二重积分可化为二次积分:(1).二重积分(化为累次积分计算)特别地:若积分区域D可表示为则二重积分可化为两个定积分的乘积:而被积函数可表示为②利用极坐标计算二重积分若积分区域D可表示为则二重积分可化为二次积分则D可表示为:

若积分区域D的图形为:此时二重积分可化为二次积分若积分区域为圆域或部分圆域;或被积函数为一般应选择极坐标计算二重积分.(2)三重积分“先一后二法”:“先二后一法”:①利用直角坐标计算三重积分

②利用柱面坐标计算三重积分锥体,若积分区域为柱体,③利用球面坐标计算三重积分或锥面与旋转抛物面围成;被积函数为一般应选择柱面坐标计算三重积分.若积分区域为球体或球体的一部分;被积函数为一般应选择球面坐标计算三重积分.当为空间曲线时,当L为平面曲线时,对弧长的曲线积分其中ds为弧长元素.(二)对弧长的曲线积分(第一型曲线积分)1.概念:物理意义:非均匀曲线弧的质量.2.性质:与定积分类似.性质8.即对弧长的曲线积分与曲线弧的方向无关.性质9.(对称性)若平面曲线L关于y轴左右对称,函数

则有被积关于x是奇函数,即有若被积函数

关于x是偶函数,即有则有其中是L在的部分.此外,若L关于x轴上下对称,关于y具有奇偶性,3.计算法:(化为定积分计算)(1)若曲线L:则有

(2)若曲线L:则有被积函数

则对弧长的曲线积分有类似的对称性.(3)若曲线L:则有

若曲线L:则有(4)若空间曲线:则有(三)对坐标的曲线积分(第二型曲线积分)1.概念:物理意义:质点在变力的作用下沿有向曲线弧

L

从点

A移动到点

B所作功.2.性质:(与定积分类似)性质8.其中是与L方向相反的曲线弧.即对坐标的曲线积分与曲线弧的方向有关.

3.计算法.(化为定积分计算)①若曲线L:起点At=,②若曲线L:终点Bt=.则有起点Ax=a,终点Bx=b.则有若曲线L:起点Ay=c,终点By=d.则有③若曲线:起点At=,终点Bt=.则有4.两类曲线积分的联系其中,为有向曲线弧L上点(x,y)处切向量的方向角.5.格林公式:若函数P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶偏导数在闭区域D上连续,则有:其中L是D取正向的边界曲线.(逆时针方向)6.曲线积分与路径无关的条件设D是一个平面单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在D的充分必要条件是在D内恒有:(即若是D内两条起点与终点相同,但路径不同的曲线,则有内与路径无关或者则有若L是D内任意一条封闭曲线,7.对坐标的曲线积分的计算流程图:?L不闭合与路径无关L闭合与路径有关L闭合(用格林公式化为二重积分)L不闭合(补边后用格林公式)直接计算起点终点1.概念:(四)对面积的曲面积分(第一型曲面积分)物理意义:其中dS为曲面面积元素.当曲面的方程为z=z(x,y)时,非均匀曲面的质量.当曲面的方程为x=x(y,z)时,当曲面的方程为y=y(x,z)时,2.性质(与定积分类似)性质8.则有:函数f(x,y,z)则对面积的曲面积分有类似的对称性.若函数f(x,y,z)关于z为奇函数,即有则有:若曲面关于xoz坐标面,yoz坐标面对称,有相应的奇偶性,

f(x,y,–z)=–f(x,y,z),且函数f(x,y,z)关于z为偶函数,即有若曲面关于xoy坐标面上下对称,为xoy坐标面上方(对称性)

f(x,y,–z)=f(x,y,z),的曲面,3.计算法则有:曲积化为重积算.”“一代,二换,三投影,口诀:区域为(2)若曲面的方程为x=x(y,z),曲面在yoz坐标面的投影则有:(3)若曲面的方程为y=y(x,z),曲面在xoz坐标面的投影区域为则有:(化为二重积分计算)(1)若曲面的方程为z=z(x,y),曲面在xoy坐标面的投影区域为1.概念(五)对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)不可压缩的液体以速度流过有向曲面指定侧的流量.2.性质物理意义:(与定积分类似)性质8.其中为取即对坐标的曲面积分与有向曲面的相反侧的曲面.方向(侧)有关.3.计算法首先应将曲面的方程表示(1)要计算此时曲面分上侧与下侧.再将曲面投影设投影区域为则有:(上侧取+,下侧取–.)(化为二重积分计算)(2)要计算首先应将曲面的方程表示再将曲面投影设投影区域为为z=z(x,y),到xoy坐标面,为x=x(y,z),此时曲面分前侧与后侧.到yoz坐标面,则有:(前侧取+,后侧取–.)为y=y(x,z),此时曲面分右侧与左侧,再将曲面投影设投影区域为则有:(右侧取+,左侧取–.)口诀:“一代,二投,三定侧,曲积化为重积算”.首先应将曲面的方程表示到xoz坐标面,(3)要计算4.两类曲面积分的联系:其中为曲面上点M(x,y,z)处的法向量的方向余弦.5.高斯公式:其中取封闭曲面的外侧,是所围的空间区域.二、典型例题分析与解答例1.的值为_________.解:按题目所给累次积分次序无法积分,

所以应改变所给二次积分的次序.

积不出来,

积分

注释:本题考查二重积分计算.因为积分由已给二次积分知积分区域D为:画积分区域D的图形.改变积分次序得:题型(一)二重积分例2.解:则设f(x,y)为连续函数,等于().依题意积分区域D为:画D的图形.由于四个选项对积分区域都不划分,只能先对x再对y积分.故选项(C)正确.C注释:本题考查累次积分定限.例3.

设区域D为:则解:由于对称性则有极坐标注释:本题考查二重积分对称性的应用和在极坐标下的计算.例4.

解:设区域计算二重积分画积分区域图形.注释:本题考查利用对称性和极坐标计算二重积分.其中极坐标(由于对称性)题型(二)三重积分设有空间区域及例1.解:C对于选项(A),则有().由于被积函数f(x,y,z)=x关于x是奇函数,积分区域关于yoz坐标面前后对称,则有故选项(A)错误.同样选项(B)与(D)也错误.对于选项(C),由于被积函数f(x,y,z)=z关于x与y都是偶函数,积分区域关于yoz和xoz坐标面都对称,故有选项(C)正确.所围成的区域.画积分区域的图形.例2.计算三重积分其中是由曲面解:其中(利用对称性)球面坐标(若用“先二后一法”反而麻烦)例3.求解:其中是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.旋转曲面的方程为:画积分区域的图形.柱面坐标注释:本题考查利用柱面坐标计算三重积分.题型(三)对弧长的曲线积分设平面曲线L为下半圆周则曲线积分解法1:由于下半圆周上的点(x,y)也满足则有应填例1.

注释:本题考查对弧长曲线积分的计算法.下半圆周的参数方程为解法2:则有:显然解法1优于解法2.解:设L是椭圆其周长为a,例2.椭圆L的方程可改写为则则有由于xy是x的奇函数,曲线L关于y轴对称,则有注释:本题考查对弧长曲线积分的计算法与解题技巧.又由于所以题型(四)对坐标的曲线积分设L为取正向的圆周例1.

则曲线积分解:原式的值是_____.应填注释:本题考查格林公式的应用.格林公式例2.设L为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_______.解:圆周的参数方程为:起点参数为终点参数为则有注释:本题考查对坐标的曲线的计算.L为从点A(2a,0)沿曲线求其中a,b为正的常数,例3.

到点O(0,0)的弧.解:画积分路径L的图形.原式=格林公式注释:本题考查对坐标的曲线的计算.例4.