人教A版 新教材4.4 数学归纳法

第四章数列4．4数学归纳法例题1.用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是，即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．练习2.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当时，．证明：假设当时，等式成立，即．则当时，左边=右边．所以当时，等式也成立．由此得出，对任何，等式都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．证明，①当时，左边=，右边，等式成立．②假设当时，等式成立，即．则当时，，．上面两式相加并除以2，可得，即当时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是【答案】（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【解析】【分析】根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.3.用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据数学归纳法的证明方法，即可作出证明.【详解】由题意，等比数列的首项为，公比为，①当时，，显然满足；②假设时，成立，则当时，成立，由①②可知，对于任意，都有成立.证明：前项和公式，③当时，成立；④假设时，成立，则当时，成立，由③④可知，对于任意，都有成立.例题4.用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立；②假设当时等式成立，即.那么，即当时等式也成立.由①②知，等式对任何都成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.5.已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】，证明见解析【解析】【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.【详解】由，可得．由，可得．同理可得，，．归纳上述结果，猜想下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．（2）假设当时，③式成立，即，那么，即当时，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．6.设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】，且时，，证明见解析【解析】【分析】计算和时的情况猜想：时，，利用数学归纳法证明得到答案.【详解】由已知可得．当时，，由，可得；当时，，由，可得．由此，我们猜想，当，且时，．下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当时，由上述过程知，不等式成立．（2）假设当（，且）时，不等式成立，即，由，可得，所以．于是，所以，当时，不等式也成立．由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数n都成立．练习7.用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【解析】【分析】按照数学归纳法的步骤严格证明即可.【详解】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；（2）假设当时等式成立，即，则当时，左边=右边.所以，当时，等式成立；由（1）（2）可知，对.【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．【答案】，，，，证明见解析.【解析】【分析】逐个计算即可；根据猜想，再按照数学归纳法的步骤，证明结论.【详解】解：，，；由，，，猜想，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.①时，，成立；②假设时，有成立，则当时，，所以，时，猜想也成立，故由①，②可知，猜想对都成立.9.观察下列两个数列，：数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．猜想从第几项起小于，并证明你的结论．【答案】从第项起，证明见解析.【解析】【分析】先写出的通项公式，再根据题中数据猜想从第项起，利用数学归纳法证明当时，即可.【详解】解：根据题意可得：数列的通项公式为，数列的通项公式为，由，猜想从第项起，即证当时，，⑴当时，，，显然，猜想成立；⑵假设当时，猜想成立，即，当时，，即，即当时，猜想成立，由⑴⑵可知，当时，都有，即．10.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】，证明见解析【解析】【分析】由可得，代值计算即可求前4项，归纳出数列通项，用数学归纳法证明：（1）当时，去证明等式成立；（2）假设当时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当时，等式也成立即可．【详解】由可得，得，，．推测．下面用数学归纳法证明：①当时，左边，右边，结论成立．②假设时等式成立，有，则当时，故当时，结论也成立．由①②可知，对任何都有．习题4．4一．选择题11.用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果.

【详解】由题意，当时，左边故选：C二．解答题12.用数学归纳法证明：（1）；（2）；（3）．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】先证时等式成立；再假设时等式成立，证明时等式也成立即可.【详解】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，，故时等式成立，综上可知，等式成立.(2)当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，，故时等式成立，综上可知，等式成立.(3)当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，，故时等式成立，综上可知，等式成立.13.已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】，证明见解析【解析】【分析】由，且即可求得，，的值，从而可猜想的通项公式，利用数学归纳法证明，分三步：①当时，猜想成立；②设当时，猜想成立，去证明时猜想也成立，③综上所述，即可证得猜想成立．【详解】由得，，，同理可求，，，猜想证明：①当时，猜想成立．②设当时，猜想成立，即，则当时，有，所以当时猜想也成立．综合①②，猜想对任何都成立．14.已知数列，，，…，，…的前n项和为．计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】，，证明见解析【解析】【分析】根据题意计算的值，猜想，结合数学归纳法证明方法，即可作出证明.【详解】由题意，数列，，，…，，可得，可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为，所以可猜想，数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边，猜想成立；②假设时，猜想成立，即，当时，，所以当时，猜想也成立，由①②可知，对任意都有成立，所以.15.用数学归纳法证明：．【答案】见解析【解析】【分析】利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.【详解】解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，当时，＋…＋+，即当时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何都成立，故.16.已知数列，的通项公式分别为，，其中，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论．【答案】或者且，证明见解析【解析】【分析】由出发，构造函数，根据函数的单调性即可推断证明.【详解】解：，，即，两边同时取对数得：，即，即，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，，故当时，成立，当时，，即，即或者且时，有，即.17.已知数列满足，．试用数学归纳法证明并比较与的大小关系．【答案】证明见解析，【解析】【分析】先验证当时处理，然后假设当时成立，那么时，若，得出矛盾，即可证得结论，之后利用作差比较出大小.【详解】证明：，当时，，成立，假设当时成立，则，那么时，若，则，矛盾，故，因此，，因此，18.证明：能够被6整除．【答案】见解析【解析】【分析】利用数学归纳法即可证明.【详解】解：⑴当时，，显然能够被6整除，命题成立；⑵假设当时，命题成立，即能够被6整除，当时，，由假设知：能够被6整除，而为偶数，故能够被6整除，故能够被6整除，即当时，命题成立，由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除．19.一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．【答案】，证明见解析【解析】【分析】设即可求得（1），（2），（3）；假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，由（1），（2），（3）的值可求得，，；再用数学归纳法证明即可．【详解】设，（1），（2），（3）；假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，则（1），①，同理，由（2）得②，由（3）得③联立①②③，解得，，．．证明：当时，显然成立；假设时，，则时，，即时，结论也成立．综合，知，存在常数，，使得对一切自然数都成立．20.已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．【答案】命题推广形式为：设为非负实数，为正实