不定积分课件

不定积分主讲人：吴润民章节重、难点1.原函数的定义2.不定积分的定义3.不定积分的性质4.第一换元法（凑微分法）5.分部积分法微分法:积分法:互逆运算不定积分的概念问题提出定义1

若在某一区间上恒有F’(x)=f(x)

，则称函数F(x)

为函数f(x)在该区间上的一个原函数。一、不定积分的定义问题：1、什么函数有原函数？2、原函数有多少个？3、任意两原函数之间有何关系？定理

若函数f(x)在某区间上连续，那么f(x)在该区间上的原函数一定存在。１.函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？定理

若函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函数.２.若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个？是的一个原函数.是的一个原函数.定理：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。定理

函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。３.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？下列函数中，为函数的原函数A.B.C.D.的是（）分析：故选B则的另一个原函数是(其中1、设是的一个原函数，课堂练习A.B.C.D.为常数)()分析：定义2

若F(x)是f(x)

的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分，记为x

称为积分变量f(x)称为被积函数，f(x)dx

称为被积表达式其中∫称为积分号，C

称为积分常数例1

求下列不定积分(1)(2)解：(2)(3)(3)(1)例2

验证等式：证明：因为是cos(2x+3)的一个原函数，所以即若等式则A.

B.C.

D.

课堂训练分析：即的意义是()

A.表示一个极限值

B.表示一个常数

C.表示一个函数

D.表示一个函数族

课堂练习答案：Ｄ几何意义：不定积分表示积分曲线y=F(x)沿y轴上下平移而得到的一族积分曲线。二、不定积分的几何意义例3

求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知得曲线簇y=x2+C,将x=1,y=3代入，得C=2所以y=x2+2三、不定积分的基本公式和运算法则1、不定积分的基本公式

由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。序号12345基本积分表6789说明：1、基本公式是以为积分变量的，若将基成立.如：本公式所有的换成其它的字母公式亦函数.如：理解为下面的结构式：2、基本公式中的均可理解为的的连续式中的方块可以为自变量，也可以是的函数.如：例4求下列不定积分(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)例5验证解：当x>0时，当x<0时，所以关于不定积分，还有如下等式成立：2.1.或或１.不为零的常数因子，可移动到积分号前。２.两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和（k≠0）四、不定积分的运算法则（可推广到有限多个函数之和的情况）

1.直接积分法

2.换元积分法

3.分部积分法五、不定积分的计算例6

求解：原式=直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。例7

求解：原式例8

求解：原式=求

()

A.B.C.D.课堂练习分析：故选AＡ

对课堂训练例如：Ｂ

错答案：Ｂ第一换元积分法（凑微分法）

有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。例如想到基本积分公式若令u＝2x，把2x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来定理1

设f(u)具有原函数F(u)

，uφ(x)可导

则有第一换元公式（凑微分法）则有换元公式例9

求解：例9求原式=解：凑微分常见公式例10

求解：原式=例11

求解：原式=例13

求解法一解法二解法三下列凑微分正确的是()A.B.C.D.课堂练习答案:C考虑积分解决思路利用分部积分法问题的提出分部积分法分部积分公式下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法——分部积分法。对此不等式两边求不定积分即分部积分过程：应用分部积分法时，可按下述步骤计算：(凑微：定出)(分部：利用分部积分公式)

（积分）例14

求积分解:令若令显然，选择不当，积分更难进行。若u和v’选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和v’是一个关键。选取u和v’一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；(2)要比容易积出问题：如果确定被积函数中的u

与v’？指函数三角函数幂函数对数函数被积函数在确定u

与v’时，两函数谁排在前，谁即为v’。例15解：指函数三角函数幂函数对数函数例16

求解指函数三角函数幂函数对数函数例17解：指函数三角函数幂函数对数函数说明：方法：求导列积分列横向函数相乘再积分左列函数依次求导数右列函数依次求积分斜向函数相乘不积分符号依次取正负口诀分部积分的列表法：例17

解：指函数三角函数幂函数对数函数列表如下列表如下例18

例18

求解在计算方法熟练后，分部积分法的替换过程可以省略。指函数三角函数幂函数对数函数下列分部积分中,对和选择正确的有（）A.B.C.D.课堂练习答案:C小结1.原函数2.不定积分的定义3.不定积分的性质4.不定积分的计算（直接积分法，凑微分法，分部积分法）下列等式成立的是().A.B.

C.D.

答案:A课后练习A.