浙江省嘉兴市辛江中学2022年高三数学理模拟试题含解析

浙江省嘉兴市辛江中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则集合B中元素个数为（）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C由题意，得，，则集合中元素个数为3；故选C.2.对于函数，下列说法正确的是（

）A.

函数图像关于点对称

B函数图像关于直线对称.

C将他的图像向左平移个单位，得到的图像.

D.将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像参考答案：B【知识点】三角函数图像变换三角函数的图像与性质【试题解析】对A：故A错；

对B：图像关于直线对称，故B正确；

对C：将他的图像向左平移个单位，得到的图像，故C错；

对D：将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，的图像，故D错。

故答案为：B3.已知曲线在点（1,1）处的切线与抛物线相切，则a的值为（）A.0 B.0或8 C.8 D.1参考答案：C【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值.【详解】，当时，切线的斜率，切线方程为，因为它与抛物线相切，有唯一解即故，解得，故选C.【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线在处的切线方程为.4.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略5.设命题p:函数在定义域上为减函数，命题q:,当a+b=1时，，以下说法正确的是(

)A.为真

B.为真

C.p真q假

D.p、q均假参考答案：D略6.若复数为纯虚数，则实数的值为A．3

B．1

C．-3

D．1或-3参考答案：C因为复数为纯虚数，所以，因此选C。7.若，且，则下列不等式一定成立的是

（

）

(A)．

(B)．

(C)．

(D)．参考答案：D略8.已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段的中点的横坐标为A．

B． C．

D．参考答案：A9.下列四个命题：①若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b是异面直线．②若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内．③若直线a，b，平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α∥β．④若两个平面互相垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，a，b有可能是共面直线；在②中，由直线与平面平行的性质定理得过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内；在③中，α与β相交或平行；在④中，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．【解答】解：在①中，若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b有可能是共面直线，故①错误；在②中，若直线a∥平面α，P∈α，则由直线与平面平行的性质定理得过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内，故②正确；在③中，若直线a，b，平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故③错误；在④中，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直，故④正确．故选：B．10.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.dx=

．参考答案：1【考点】定积分．【分析】dx=，由此能求出结果．【解答】解：dx===（lnx）2=1．故答案为：1．12.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为 .参考答案：

13.的夹角为，参考答案：略14.如图所示，，O为△ABC的内心，则的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】利用内心的性质求出OA的长和∠OAC，代入数量积公式计算．【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O与AC，AB，BC的切点分别为D，E，F，连结OD，OE，OF，OA，∴OD⊥AC，∠OAD=∠BAC=60°，设AD=x，则AE=AD=x，OA=2AD=2x，∴CF=CD=1﹣x，BF=BE=2﹣x，∵BC==．∴1﹣x+2﹣x=，解得x=，∴OA=2x=3﹣，∴=OA?AC?cos∠OAD=（3﹣）?1?cos60°=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，利用内心的性质是关键．15.给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：________________．（1）“”是“”的必要而不充分条件；（2）已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；（3）函数在区间上只有1个零点；（4）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（5）设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c等于3参考答案：（1）（2）（3）略16.在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为

.

参考答案：略17.存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④其中存在“稳定区间”的函数有__

_

.（把所有正确的序号都填上）参考答案：②③略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式。参考答案：19.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；（Ⅱ）不正确．理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，∴中奖的概率为．不中奖的概率为：1﹣．故这种说法不正确．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．20.在斜三棱柱中，侧面，,,,.(1)求证：；(2)在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为.参考答案：19.（1）证：，

，即有；

又，为中点，则

……………4分(2)如图所示以点为坐标系原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则有 ，设，且，即有，所以点坐标为.

……………7分由条件易得面地一个法向量为…………….8分设平面地一个法向量为，由可得令，则有，

…………………10分则,得所以，当时，二面角的大小为…12分

略21.（13分）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．参考答案：解析：（I）由题可设，，，其中.则

1分∵的面积为定值2，∴.

2分，消去，得：．

4分由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．5分（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去得：，

6分设点、、、的横坐标分别是、、、，∴由得

8分解之得：．∴.

9分由消去得：，由消去得：，∴.

10分由于为的三等分点，∴.

11分解之得.

12分经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.13分22.如图，已知动直线与椭圆交于两个不同点.（Ⅰ）若动直线又与圆相切，求的取值范围.（Ⅱ）若动直线与轴交于点，满足，点O为坐标原点.求面积的最大值，并指出此时的值.参考答案：把代入椭圆方程得：

………（1分）（Ⅰ）……（2分）即……（3分）直线与圆相切，……（4分）把（3）代入（2）得：…