福建省福州市市第十四中学2021年高三数学文模拟试题含解析

福建省福州市市第十四中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的反函数为A.

B.C.

D.参考答案：B2.（2016?泉州校级模拟）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．3.的外接圆的圆心为，半径为,若，且，则向量在向量方向上的投影为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.对具有线性相关关系的的变量，，测得一组数据如下表245682040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当时，的估计值为（

）

A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5参考答案：C5. 在空间中，若m,n是两条不同的直线，a,b是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．a∥b,mìa,nìbTm∥n B．a⊥b,n∥a,m⊥bTn⊥m C．m∥n,m⊥aTn⊥a

D．m∥n,m∥aTn∥a参考答案：C略6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧（左）视图可以为参考答案：D略7.在中，，，，则面积等于

．参考答案：略8.在等比数列{an}中，，，则的值是（

）A.8 B.15 C.18 D.20参考答案：A【分析】设等比数列的公比为，根据，求得，又由，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，即，，则，又由，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9.已知向量，且∥，则A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与抛物线分别交于A、B两点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．8 D．1参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】写出直线方程代入抛物线方程利用韦达定理以及抛物线的性质，求解写出|AB|即可．【解答】解：直线的方程为y=x﹣1，代入y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0，故x1+x2=6，所以，|AB|=x1+x2+p=6+2=8．故选：C．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，弦长公式的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是．参考答案：[5，+∞）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则解得即可．【解答】解：当x＜1时，f（x）=1﹣x+2m﹣mx+18﹣6x=19+2m﹣（m+7）x，当1≤x＜2时，f（x）=x﹣1+2m﹣m，x+18﹣6x=17+2m﹣（m+5）x，f（1）=12+m，2≤x＜3时，f（x）=x﹣1+mx﹣2m+18﹣6x=17﹣2m+（m﹣5）x，f（2）=7，当x≥3时，f（x）=x﹣1+mz﹣2m+6x﹣18=﹣19﹣2m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时取得最小值，则解得m≥5，故m的取值范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞），12.不等式的解集是

.参考答案：答案：

13.已知定义在R上的奇函数满足，且时，，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是减函数；丙：函数关于直线x=4对称；丁：若，则关于x的方程在[0，6]上所有根之和为4．其中结论正确的同学是____．参考答案：甲、乙、丁解析：满足，则的最小正周期，又时，，且定义在R上是奇函数，则大致图像如下：故甲、乙、丁正确．14.已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|=．参考答案：10【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的距离公式可求得．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，﹣=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴=，即m+2=2﹣3，解得：=2或（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴|BF|==10．故答案为：10．15.若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．参考答案：试题分析：∵，，∴，∴，故答案为.16.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

。参考答案：3817.设是奇函数，且当时，，则当时，

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆（）的短轴长为，离心率为，点A(3，0)，P是C上的动点，F为C的左焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值.参考答案：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是(Ⅱ)设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.19.(本小题满分12分)已知函数，（其中），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．（1）求实数的值；（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．参考答案：（1），；（2）存在最小的正常数.试题分析：（1）由及可解得；（2），构造函数，则问题就是求恒成立，对求导，设极值点为，存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立.所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有在区间和上，，即；在区间上，，即。从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增。，当时，；当时，.

（10分）还有是函数的极大值，也是最大值。题目要找的，理由：

考点：1、利用导数求切线斜率及函数的单调性；2、利用导数证明不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数证明不等式恒成立问题，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.20.设椭圆C：(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(，)在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，＝1，＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆于点A，B（A，B不重合）．设，，求的最小值．

参考答案：

解：（1）由当轴时，可知，

…………………2分将，代入椭圆方程得（※），而，，代入（※）式得，解得，故，∴椭圆的方程为.…………………4分（2）方法一：设，由得，故，代入椭圆的方程得（＃），………………8分又由得，代入（＃）式得，化简得，即，显然，∴，故.……………………12分同理可得，故，当且仅当时取等号，故的最小值为.

………………16分方法二：由点，不重合可知直线与轴不重合，故可设直线的方程为，联立，消去得（☆），设，则与为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得，故，则，……8分

将点代入椭圆的方程得，代入直线的方程得，∴，由得，故.…………………12分

同理可得，故，当且仅当时取等号，故的最小值为.

………………16分注：（1）也可设得，其余同理.（2）也可由运用基本不等式求解的最小值.

21.数列中，已知，对，恒有成立。（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列前n项和。参考答案：（1）略；（2）＝.解析：（1）证明：（方法一），又，得，

（2分）由，有，两式相除得，知数列奇数项成等比，首项，公比q=4，

（2分）

n为奇数时，，当n为奇数时，则n＋1-为偶数，由得，，故对，恒有，（定值），故数列是等比数列； （2分）（方法二），又，得，，，猜想：，

（2分）下面用数学归纳法证明：（i）n＝1时，结论显然成立， （2分）（ii）设当n＝k时，结论也成立，即，

当n＝k＋1时，，即，得，故对，恒有，故数列是等比数列；

（2分）（2）（方法一）＝＝数列前n项和即是数列奇数项和（共3n项），

（4分）则＝．

（4分）（方法二）由，则,（4分），知数列是首项为，公比为的等比数列，

（4分）则＝． （4分）

略22.（本小题满分12分