2022-2023学年北京沿河中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年北京沿河中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，则满足的集合的个数是（）Ａ．1

Ｂ．3

Ｃ．4

Ｄ．8参考答案：答案：C解析：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。2.已知函数，（）．那么下面命题中真命题的序号是(

)

①的最大值为

②的最小值为

③在上是减函数

④在上是减函数A、①③

B、①④

C、②③

D、②④参考答案：B3.设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（） A．（2014，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2020，+∞）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数的运算． 【分析】利用函数的可导性，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可． 【解答】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0， 所以函数g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函数， 因为（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1， 所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3）， 所以x﹣2017＞3，解得x＞2020． 则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力． 4.在复平面内，复数对应的点位于

(

)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略5.若复数的实部与虚部相等，则实数b等于(

)

A．3

B.1

C.

D.参考答案：A，因为此复数的实部与虚部相等，所以。6.空间中，、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列结论错误的是A.若则

B.若则C.若，则

D.若则参考答案：D略7.设，若函数在区间（-1，1）内有极值点，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.若实数、满足，则的最大值为（

）． A． B． C． D．参考答案：D解：根据题意，作出可行域如图所示：目标函数表示斜率为的直线的纵截距的倍，由图可知，当，过点时，取得最大值，将点代入，得．故选．9.如图所示的是函数（，）在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m（）个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则m的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：C由函数（，）的图象可得T=再由五点法作图可得2×（﹣）+=0，∴=．故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到g（x）=sin（4x﹣4m+）的图象，∵所得图象关于直线对称，∴4×﹣4m+=+kπ，解得：m=﹣kπ，k∈Z，∴由m＞0，可得当k=1时，m的最小值为．故答案为：C

10.已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为（

） A． B． C． D．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3C解析：因为函数的图象经过点（0，1），所以，又，则，则函数解析式为，将选项依次代入可知，当时函数取得最值，所以是函数的一条对称轴，所以选C.【思路点拨】可先由函数图象经过的点求出φ的值，再对选项进行检验是否取得最值即可.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在下列结论中：①函数为奇函数；②函数的图象关于点对称；③函数的图象的一条对称轴为；④若，则.其中正确结论的序号为

（把所有正确结论的序号都填上）．参考答案：①③12.点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的最大值为_____.参考答案：513.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，E是C的准线上位于x轴上方的一点，直线EF与C在第一象限交于点M，在第四象限交于点N，且|EM|=2|MF|=2，则点N到y轴的距离为．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根据相似三角形的性质，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根据抛物线的定义，即可求得丨DN丨=3，点N到y轴的距离为丨DN丨﹣．【解答】解：过M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分别为H，D，由抛物线的定义可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨|EM|=2|MF|=2，则丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，∴∠EMH=，∠MEH=，∴p=，抛物线的标准方程为y2=3x，在Rt△EDN中，sin∠MED=，则丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨，则丨DN丨=3，点N到y轴的距离为丨DN丨﹣=3﹣=，故答案为：．14.((几何证明选讲选做题)如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为

.参考答案：15.已知△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，△ABC的面积为__________．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．解答：解：∵△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键16.定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=

．参考答案：0【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：017.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，则b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..已知集合，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则可为奇函数；④若，则对任意不等实数，总有成立．其中所有正确命题的序号是

．（填上所有正确命题的序号）

参考答案：略19.设函数,其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为,求的值．参考答案：（1）；（2）．试题分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x-1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x-a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．试题解析：解：．（1）当时，可化为．由此可得

或．故不等式的解集为

．

5分（2）由得

此不等式化为不等式组或

即

或因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故．

10分．考点：绝对值不等式的解法．20.已知函数.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若，在(1,+∞)上恒成立，求k的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）.【分析】（1）先求导数，对a分类讨论后分别解出f′（x）＞0与f′（x）<0的解集，从而得出函数f（x）的单调性．（2）构造函数g（x）＝（k-1）lnx+x，x＞1，求导后令导函数的分子为h(x)，研究h（x）的正负得到g(x)的单调性与极值、最值，可得满足条件的k的取值范围；【详解】（1）由题可知①当时，此时恒成立，在递增.②当时，令解得;令解得.在递减，在递增.

（2）原不等式等价变形为恒成立.令则令①当时，此时的对称轴：在递增.又在恒成立.在恒成立，即在递增..符合要求.②当时，此时在有一根，设为当时，即.在上递减..这与恒成立矛盾.综合①②可得:.【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．21.（本小题满分12分）

已知数列满足，且，为的前项和.（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）对任意,都有，所以则成等比数列,首项为，公比为…………2分所以，…………4分

（2）因为所以…………6分因为不等式，化简得对任意恒成立

……………7分设，则

当,,为单调递减数列，当,,为单调递增数列

…………9分,所以,时,取得最大值…………11分所以,要使对任意恒成立，…………12分

略22.（12分）已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f'（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f'（x）＞0，故函数f（