2018考研数学概率基础讲义

概率论与数理统计全程基础班引言２个选择题１⇒３′′２个解答题′′目标满分特点①要用微积分工具五大问题:①如何处理复杂②③如何求数字特征 如何使用极限定理大样本情况下⑤如何作估计与评价一如何处理复杂 随机试验

２０试验结果明确可知,试验之前不知哪个结果会发生１②几个基本概念１０试验结果中每一个最简单最基本不可再分)的结果,叫样本点基本记作ωω的全体叫样本空间,记作３０样本空间的子集叫随机,记作英文大写字母)BC．４０子集中*本身若随机试验E的样本空间Ω

,称其为古典概型则P(A)A中所含样本点的个数＝*中含样本点总数注】计数方法１０穷举法:个数不多时,直接数数即可２０集合对应法①加法原 完成一件事有n类方法,第一类方法中有m１种办法,第二类方法中nm种方法第n类方法中有mn种办法则完成此事共有>mi种办法②乘法原 完成一件事有n个步骤第一步有m１种方法第二步有m种方法第n步有mn种办法则完成此事共有n∏mi种办法③排列 从n个不同的元素中取出m≤n)个元素,并按照一定顺序排成一列,叫排列所有排列的个数叫排列数记作Pm＝nnn－m＋＝ Pn

＝ n!

叫全排列

n－m ④组合 从n个不同的元素中取出m≤n个元素,并成一组,叫组合所有组合的个数叫组合数．Cm＝ A３０对立思 － 易算出．A 例１】从０到９十个数字中,任取３个不同数字,求下列的概A１＝三个数中不含０和A＝三个数字中不含０或A３＝三个数字中含０但不含２３ PA３

７;

)C３

分

P １１

PA ·

３＝C３ 例２】袋中５球白２ (

１从袋中先后有放回取２⇒PA

()C１C１－C１C１９２先后无放回取２球⇒PA＝ １＝４ ４任取２球PA)C 求P(A)＝P至少一白分析】先 －＝P２球全黑PA

C１C１C 【

１ C１C１C 例３】袋中个球个白６０黑①先后无放回取２０个,求P１５白５黑②先后无放回取２０个,求P第２０次取到白③先后有放回取２０个,求P１５白５黑④先后有放回取２０个,求P第２０次取到白 ()C１C

(

C１

(

０C分析①PAC

②PB

③PC

理解一:按概率摸球二①②定义设Ω是一个可以度量的几何区域每个样本点的发生具有等可能性即样本点落入Ω中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比而与A的位置及形状无关则称其为几何概型, ()A的测度PA＝*的测度例１】设我上午八点到九点时间段内进教室求P我在时间段进教室１分析P＝２ 注

我恰在０进教室 １ ＝０＝１３例２】君子有约上午甲乙在校门口见面等２０分钟你不来即离开求:P甲乙能见面A Ω＝S Ω５例３】在１０内随机的取两个数,P两数之和小于６５＋

１－ ５分析PX ４．重要求概

— PAAPA＝－ABPA＝A＋B－ABP CA＋B＋PC－PB－PC－PC＋PC)nAnnA１＋n＝．)Ann)PA１n－P１＋n－P１n－nAin＝１∏１其中所谓相互独立是指AAn若对其中任意有限个Aiik,n２Ai１ikAi１PiPkA,n相互独立且夫唱妇随”指n个相互独立⇔它们中的任意一部分换成其各自的对 立所得的个 相互独 ④条件概 A＝B PB)PB注】标志性的词汇已知当发生了法PBAPBPBPBAPA)法PAAnA１PAA１PA３Pn１⑥全集分解设一个村子和三个小偷.分别为A１A,A３,村子失窃＝BPB＝PAPB１＋PAPB＋P３PB)４１AAPB

０B １２０

＝ PBA３设－E可分为两个阶段nⅠ∪Ai＝ΩAAj＝φi≠j(称A１An为Ω的一个划分也叫完备组求Ⅱ)阶段B发生的概率nPB＝PB∪i＝B∩１n＝Pn Ai＝BPAi ⑦－E可分为两个阶段ⅠⅡAjPAPB) PBAj PB)PBPAi例１】有甲乙两名射击手,轮流独立打靶,甲命中的概率为α乙命中的概率为β甲先射击谁先命中谁获胜求P甲胜【分析】记 第i次命中

A１＋A１A１P１＋P１PAPA３＋A１PAP３P４PA１α＋１α１βα＋１α)α１

１α－注P乙胜１－P甲胜 β１α１－１α１－)

＝pq 例２】某每周一次概率十万分之一且各周互相独立每周买一次坚持十年每年５２周则P此人从未【分析】记Ai＝第i次i且P则５AA１PA －)例３１０份报名表３女７男先后无放回抽取则P第３次取到女

３＝３ ＝P第３次才取到女 PA１AA３＝AA１PA３ ＝ ＝记Ai＝第i次取到女P已知前两次均取到男,第３次取到女＝A３

＝８

０９ 例设两批数量相同的零件有一批全部合格另一批％不合格％合格现从两批产品中任取一件经检验为合格品放回原处并从该处再取一件求这一件是不合格品的概率．分析】分成两个阶段

H—

取零 A为合格A为不合１＝１ ＝ ＝１１PA１

PA＝PAA

１PH

PAPH则P A)PH１)

PAHPH

PA＝ ＝PA) ８于是,设Ci＝第二次从第i批中取零件

１２＝,PC

４PC)１ A＝PAPC１＋PAPC０×例５】设有两箱同种零件第一箱５０件件一等品第二箱３０件件一等品先从中随机挑出一箱再从该箱中先后无放回取出两个零件求１第一次取到一等品的概率２在第一次取出的是一等品的条件下,第二次仍取到一等品的概率分析】H１＝取第一箱

选箱子HH＝取第二箱B１＝第一次取到一等品,＝第二次取到一等品６PB

)(

PH＝

＝１＝PB１H１P

＋P

５０３０ PH按上题的思路⇒

B＝ ５０２ (

＝ ４PP HPH)

５０PHB＝

３０ (

＝ ４P

３０ B)

５

１

５０２４９ ３０２BPBBPBBH１P(H１＋PBP(１１＝PB) １×＋×＋×＝×＋×＋×＝×＝１１×

１

７)

５

＝××４ ５０４９ ３０ ５０２４９ ３０２＝××【

典型错误:

＋ ４９ 二 随量．v．)*定义在样本空间Ω上,而取值于实数轴上的函数XXii∈称为随量②F(x)＝PX≤xx从取遍整个实数轴到x１ x１ 分布律X

i ＝i＝pi,ip１ ＝

x对于某一X若存在非负可积函数使x有Fx＝x称 为连续型随量是分布函数叫概率密度x

x∈－【注】若X~i⇔X７若X~fx)⇔X五个离散型２．常见的八个)一维分布 分布两点分布)r－E１ ０ pX＝＝pX~ x０p p(＝x０ A发注】引 计数变量X＝ A发②二项分 r－

A１０n 试

每次结果的p—只有两个结果An１－n－kk,n③pk待分布．④设N件产品M件正品,无放回取n次,取到k个正品的概率是 n＝n⑤在某场合,某单位时间段,源源不断的质点来流的个 !!k

EX＝λkX~Pλ．例】浙大版概率第１２ 总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为４的泊松分布求某一分钟恰有８次呼唤的概率２某一分钟的呼唤次数大于３的概率１ () ４８ １分 PX＝８＝!e ８PX＞PX－PX－PX－PX８⑥均匀分 与几何概型有重大关若X

f

＝称 ~U＝称 其他注】高档次说法:若“在区间I上的任何子区域取值的概率与该子区间长度成正比”．称X在I上服从均匀分布．例】浙大版概率第１８在区间上任掷一个质点X表示这个质点的坐标设此质点落在中任意子区间的概率与该子区间的长度成正比,求X的分布函数． －＜x＜＋—FxFx当０≤x＜a时,PX≤x() x

＝ ０≤x xk＝１FFF故x＝a处连续同理x＝０处也连续Fa处处连续

任何X的分布函数有一个条件叫FF０右连续００⑦

x若X~

称 E以后 １λ 失效 ＝也叫连续型等待分布⑧

~x －μ)若X~fx＝ eσ－＜x＜＋＞＝DXσσ１Nxfx＝ —x— ——

９x乌 鸭 兔子引例X~

５ １ ６

１１

６X~i若YX则gX)~i＝－１０

２１

１如X

３３３３

Y

１

并 ２０连续 X fX３再求fYYy３

x)

,

π１＋x

＝－

３ ３—

XX

１３yY １－y３３１y)－y３X

１３４．二维①二维XYY＝XYFxxYx＋ y→＋＝XYxyxyFY⇔XYXY

x→XYyxppp⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮pPXYij⇔XY (＝P:(P PXiYj) j

Y PXiYj) i ＝ XYxy

(, 边缘

＝

fxyx独立性XYfxXY独立Y条件概率密度f x Y

fxy) )fxy)X

y)

Xx)~U０)Yfx与fX分析⇒X

,＜, ,０＜y＜x ＝,其 fYX x)

(

０其他,０＜y＜xfx,＝ ( fYX ＝ y０＜y

其 x, fXy 其三如何求数字特征XXXY①X~Pi⇒EXi 如X~ １１则EX ２３

＝gx⇒Y＝giii∫∫~fxX ∫∫~fx⇒Y X＝＝XgX~EX２＝YiXi~fxXEX－XY

xf２０

XX)＝EXEX＝＋E－X＋X＋－X＋X－X协方差XYXYXYYYYXX＝XXXYYY ＝XY)为相关系数描述X,之间线性相依程度四如何使用极限定理大样本n→ε０nXaεn→n* １０ i在一定的条件下, XPE(i

Xin ２０中心极限定理(→

nFσDXi只要将其加起来

σ> 五如何作估计①总体:研究对象的某个指标的全体．X②样本:简单随机样本⇔Xi独立同分布１ １ 用EX人为令X Xin例】浙大版概率第４题设总体X具有分布律 ３X~ ) θθ１－θ１－θθ０x１x３与最大似然估计．＋２×１＋３×１θ)i x＝１＋２＋１

Lθθθ)取Lθ ( － Lθθ

２０最大似然估计附录:该做习第一 概率论的基本概必做习题)§．考研不作要求§．样本空间随机样本空间的概念和表示习题随机的概例间的关系与的运掌握(能结合文氏图分析习题§．频率频率的定义和性质频率的稳定性考研不作要求概率的定义(三个条件概率的性质:性质i掌握会证明习题４§．等古典概型会简单问题穷举复杂问题排列组合例习题７掌握摸球问题例,３实际推断原理§．条件理解重点例习 ４,２７例习题全概率掌握重点例习题,§．两个时间相互独立的定义和定理一与二理解重点难点例习题３０３４３,掌握重点例习题３第二 随量及其分必做习题)量随量的概例２随及其分布律离散型随量的分布理解会应用性质求待定参数例习题４ )分布试验、二项分布泊松分布的分布律掌握特别注意分布的背景随量取值参数的意义例习题了解证明不要求例３变量的分布函数分布函数的概念,基本性质应用理解分布函数定义必考会利用分布函数求概率)例习 ８§２４连续型随量连续型随量的概率密度函数的基本性质例习题２均匀分布指数分布正态分布,掌握重点(概率密度函数及其性质例习题２§２５变量的函离散型随量会关键取值和对应概率)例习题连续型随量函数的分布的两种解法会重点难点分布函数法,了解法)例习题３第三 随量及其分必做习题)§二维随量二维随量分布n维随量联合分二维离散型随量联理解重点二维连续密度例习题２二维连续型随量联合概率密度的定义和性质理解重点二维离散一表搞定例习题２理解数一)掌握数三习题９边缘分布律和边缘概率密度的计算理解数一)数三重点例二维正态分布的概率密度和边缘分布了解数一掌握数三重点做３条件概率密度理解数一)掌握数三重点难点例习 ３二维均匀分布例习 ５４随量随量相互习 ７服从二维正态随量相互独立的充要条件为参数ρ掌握重点习 ,n维随量相互只要会二维即可联合密度第四 随量的数字特必做习题P §数离散型和连续型随机变量数学期望的定义和计算理解重点例习题５随量函数的数学期望的求解方法离散型、连续型二维随量会重点定理结论记住,证明不要求)例,习题９会例３习 ０３５,掌握重点需要记住例２方差２．)习题离散型和连续型随机变量方差的计算掌握重点２４．)方差的性质例独立正态变量线性组合的数学期望和方差掌握重点例 习题切不等习题３协方差的定义协方差的性质理解重点习题相关系数的定义性质,不相关的定义理解重点PP０８性质定理习题,不相关和相互独立的区别和联系理解重点难点二维例习题４k阶原点矩k阶中心矩的定义理解记住２阶原点矩、中心距即可协方差矩阵考研不作要求)n维正态随量的四条重性质第五 大数定律及中心根限定P大数定律了解注意三个大数定律的相同点与不同点)定理二大数定律定理三(辛钦大数定律２定理一独立同分布的中心极限定理),和了解数一)会数三了解并会用相关定理近似计算有关随机的概率例习题８定理三棣莫弗拉斯定理３第六 样本及抽样分必做习题P )总体的定理解数一)了解数三简单随机样本样本值的定义理解数一)了解数三重点§．直方图考研不要求§．统计量及其数字特征(样本均值样本方差样本k阶原点矩样本k阶中心矩理解数一)了解数三重点习题８习题３经验分布函数了解仅数学三要求习题９Χ分布的定义可加性数学期望和方差分位点．了解重点但概率密度不用)t分布的定义图