《线性代数》(第二版)智能教学系统-电子教案-第一章-矩阵-第八节课件

第八节矩阵应用的两个例子例1例2例1这个例子简要说明了方阵及其方幂在称为图论的有关研究中的应用情况.图G=(V,E)由点集V和边集E组成.例如，以V={a,b,c,d,e}为点集，以E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(d,e),(e,e)}为边集构成的图G，如图1–2所示.abcde图1–2一条边除了联结两个点外，也可以由某个点联结自身构成，如中的点e与边(e,e)，这种边称为一个环.由图1–2表示的这类“图〞显然不同于函数的图形，但它在各种科学和工业活动中广泛存在，如组织机构图、电路图、网络图、煤气或天然气管道图及城市交通或道路图等等.与图有关的许多问题涉及道路.道路是一个点的序列，其相邻的点由边联结.道路的长度是指构成该道路的边的数量，abcde图1–2如图1–2中，(a,b,d,e)是a与e之间，长度为3的一条道路.对于不同的问题，可能是要求我们找出两点之间的最短道路，也可能是确定的一对点中，是否存在一条道路等等.而后一类问题在许多实际问题中经常出现，例如规定的呼叫线路；研究随机中断(例如由于闪电)对网络的影响等.下面我们将说明方阵及其方幂可用于解决有关一个图中各类道路的存在问题.为此，我们首先介绍用一种称为邻接矩阵的矩阵表示图的方法.图G的邻接矩阵A(G)=(aij

)的元aij按下述方法确定：如果第i点与第j点之间有一条边，那么aij=1,否那么aij=0;一般情况下，aii

=0,除非第i点上有一个环(此时aii

=1).可见A(G)说明了图G中哪些点是邻接的.因而，图1–2中的图G的邻接矩阵为abcde图1–2aabbccddee从图1–2还可以看出：点a与b之间，除了有一条长度为1的道路(a,b)边联结外，还可以由a经c或d由另外两条长度为2的道路与b联结，那么，如何确定图G中有哪些点之间存在长度为2的道路呢？可以证明：如果A(G)是图G的邻接矩阵,那么A2(G)中的第i行第j列元(ij)的数值等于第i个点与第j个点之间长度为2的道路个数.aabbccddeeaabbccddeeA2(G)的主对角线以外的正元，指出图G中哪些不同的点对之间可由长度为2的道路联结.可以看出，只有点c与点e之间，不存在长度为2的道路.同时，这些正元的数值还说明了不同的点对之间长度为2的道路个数.例如a与b之间有两条长度为2的道路，而a与c之间只有一条长度为2的道路.类似地aabbccddee可以反映出图G中不同的点之间由长度为3的道路联结的情况.例2假设某城市的天气分为3种状态：晴、阴和下雨.又由统计资料说明，在某个季节期间，如果今天晴，那么明天晴的概率(即可能性)为阴的概率为下雨的概率为类似地，如果今天阴或下雨那么明天的天气出现各种状态又分别有另外的概率.表1.3提供了这些数据.表1.3今天明天晴阴下雨晴阴下雨由这些数据组成33矩阵A的每一列分别表示为今天天气对应的明天天气的状态概率，每一行分别对应明天天气的各种状态.例如第一行表示当今天天气为晴、阴、下雨时,明天天气为晴的概率分别为和第二列那么表示当今天为阴时，明天为晴、阴、下雨的概率分别为和这些概率值称为转移概率，该矩阵称为转移矩阵.由于A的各列分别表示当今天天气处于晴、阴或下雨的情况下，明天天气为晴、阴或下雨的概率.A的各行分别表示当今天天气为晴、阴或下雨的不同情况下，明天为晴、为阴或为下雨的概率.因此，如果设今天为晴、阴、下雨的概率分别为p1(0),p2(0),p3(0);又设p1(1)表示明天为晴的概率，那么有类似地，假设设p2(1),p3(1)分别表示明天阴和下雨的概率，那么由A的第二行与第三行，有例如，当我们在清晨听到天气预报为：今天为阴或为雨的概率均为即那么由上面3式可预测出明天的天气概率假设令那么由矩阵乘法有P(1)=AP(0)正如可以由今天的天气概率通过转移矩阵预测明天的天气概率一样，又可由明天的天气概率预测后天的天气概率.假设令表示后天天气为晴、阴、下雨的概率，那么有P(2)=AP(1)=A(AP(0))=A2P(0)依次类推，设P(n)表示n天后(即从今天起第n+1天)为晴、阴、下雨的概率，那么有P(n)=AP(n–1)=AnP(0)(n=1,2,3,…)其中An是n天后天气状况的转移矩阵.例如，当n=2时n=3时从而当今天天气为晴、阴、下雨的概率分别为时，大后天的天气概率为晴阴下雨因此，我们可以用3天的转移概率，提前3天进行天气预报.依此类推，当今天天气为晴、阴、雨的概率分别为时，通过计算，可以得到以下预测表：晴阴雨今天明天(一天后)后天(两天后)大后天(三天后)5后天10后天100后天由此可见，只要知道今天的天气状况，利用转移矩阵，即可提供一天接一天的天气概率预测.注意到，假设干天以后，晴、阴、雨的概率分别稳定在和上述结果说明，在未来的平常一天，晴天的概率为阴天的概率为下雨天的概率为以当前状态来预测下一段时间不同状态的概率的模型，称为马尔可夫(Markov)链.对于任何马尔可夫链，数学上可以证明，确定几十天后的稳定概率，比确定3天后的概率要容易得多.数学在确定一个模型内在的、长期趋势方面的作用，常常比在找出逐天变化的中期结果方面的作用要大.由于线性代数提供了有效的数学工具，从本质上解决了人们在马尔可夫链方面提出的任何问题.因此马尔可夫链在各方面有着广泛的应用.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击