电路方程的矩阵形式

第1页，课件共71页，创作于2023年2月重点关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式返回第2页，课件共71页，创作于2023年2月15.1割集下页上页割集Q连通图G中支路的集合，具有下述性质：把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回Q

中一条支路，仍构成连通图。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集吗？问题返回第3页，课件共71页，创作于2023年2月基本割集只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1连支集合不能构成割集。下页上页注意876543219属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程。返回第4页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页注意对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。返回第5页，课件共71页，创作于2023年2月15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：下页上页1.图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵返回第6页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页2.关联矩阵A用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：Aa=nb支路b结点

n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为：注意ajkajk=1

支路k与结点j

关联，方向背离结点；ajk=-1

支路k与结点j关联，方向指向结点；ajk=0

支路k与结点j无关。返回第7页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页例1２３６５４①②④③特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。返回第8页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1降阶关联矩阵A特点

A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。Aa=(n-1)

b支路b结点n-1返回第9页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页关联矩阵A的作用用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；设:以结点④为参考结点[A][i]=-1-1100000-1-101100010n-1个独立方程矩阵形式的KCL:

[A][i]=0返回第10页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。设:返回第11页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页2.回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。[B]=lb支路b独立回路

l注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回第12页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页例1２３６５４①②④③123取网孔为独立回路，顺时针方向给定B可以画出对应的有向图。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意基本回路矩阵Bf独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]返回第13页，课件共71页，创作于2023年2月支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。下页上页连支电流方向为回路电流方向；规定例选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4

。1２３６５４①②④③231123[B]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回第14页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页回路矩阵[B]的作用用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；设ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：[B][u]=0返回第15页，课件共71页，创作于2023年2月[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-

Btut设：连支电压可以用树支电压表示。用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程下页上页注意独立回路电流返回第16页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页1２３６５４①②④③231矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意树支电流可以用连支电流表出。返回第17页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页3.基本割集矩阵[Qf]割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。[Q]=(n-1)b支路b割集数注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.矩阵Q的每一个元素定义为：qij1

支路j

在割集i中，且与割集方向一致；-1

支路j

在割集i中，且与割集方向相反；0

支路j

不在割集i中。返回第18页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页规定割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵[Qf]例1２３６５４①②④③选1、2、3支路为树Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回第19页，课件共71页，创作于2023年2月QlQt下页上页[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③基本割集矩阵[Qf]的作用用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。设返回第20页，课件共71页，创作于2023年2月矩阵形式的KCL：[Qf

][i]=0下页上页[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1个独立KCL方程返回第21页，课件共71页，创作于2023年2月设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u1u2u3]T用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程矩阵形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下页上页返回第22页，课件共71页，创作于2023年2月连支电压可以用树支电压表示。下页上页注意小结QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il]

=[i]ul=-

Btut[B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回第23页，课件共71页，创作于2023年2月对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。15.3*

矩阵A、Bf、Qf

之间的关系1.A与B

之间的关系下页上页返回第24页，课件共71页，创作于2023年2月对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：2.Bf与Qf之间的关系下页上页对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：返回第25页，课件共71页，创作于2023年2月对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：3.A与Qf之间的关系下页上页返回第26页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页例已知：12345[Bf]=10100-11010-10001求基本割集矩阵，并画出网络图。解1２３５４①②③返回第27页，课件共71页，创作于2023年2月15.4回路电流方程的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。

1.复合支路下页上页规定标准支路Zk(Yk)+-+-返回第28页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。Zk(Yk)+-+-返回第29页，课件共71页，创作于2023年2月复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下页上页注意(ZkYk）(ZkYk）+-返回第30页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返回第31页，课件共71页，创作于2023年2月2.支路阻抗矩阵形式

电路中电感之间无耦合下页上页如有b条支路，则有：Zk(Yk)+-+-返回第32页，课件共71页，创作于2023年2月设[Z]=diag[Z1Z2……Zb]支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量下页上页阻抗矩阵返回第33页，课件共71页，创作于2023年2月整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵下页上页返回第34页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回第35页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页返回第36页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页如1支路至g支路间均有互感……………Z不是对角阵返回第37页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页返回第38页，课件共71页，创作于2023年2月电路中有受控电压源下页上页

[Z]的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。Zk(Yk)+-+-+-返回第39页，课件共71页，创作于2023年2月例下页上页写出图示电路的阻抗矩阵返回

+R1R51/jCjL2R6

-jL3M第40页，课件共71页，创作于2023年2月3.回路电流方程的矩阵形式回路电流[il](b-n+1)1阶下页上页支路方程：返回第41页，课件共71页，创作于2023年2月回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。回路矩阵方程下页上页返回第42页，课件共71页，创作于2023年2月从已知网络，写出回路分析法的步骤：求出列出回路方程求出由KCL解出根据支路方程解出下页上页小结返回第43页，课件共71页，创作于2023年2月例下页上页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。解做出有向图，选支路1，2，5为树枝。15243121234512

+R11/jC5jL4R2

-jL3返回第44页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页

把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式返回第45页，课件共71页，创作于2023年2月1.支路导纳矩阵形式下页上页15.5结点电压方程的矩阵形式电路中不含互感和受控源Zk(Yk)+-+-返回第46页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页返回第47页，课件共71页，创作于2023年2月bb阶对角阵下页上页返回第48页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回第49页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页返回第50页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页电路中有受控电源Zk(Yk)+-+-返回第51页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页Zk(Yk)+-+-返回第52页，课件共71页，创作于2023年2月考虑b个支路时：下页上页若：kjkjg返回第53页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页若：kjjkjYb返回第54页，课件共71页，创作于2023年2月KCL下页上页2.结点电压方程的矩阵形式支路方程：KVL返回第55页，课件共71页，创作于2023年2月[Yn]结点导纳阵独立电源引起的流入结点的电流列向量下页上页返回第56页，课件共71页，创作于2023年2月结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图下页上页5V13A1A+-0.550.521小结1①23456②③④返回第57页，课件共71页，创作于2023年2月第二步：形成矩阵[A]123[A]=123456

110001

0-11100

00-101-1下页上页1①23456②③④第三步：形成矩阵[Y]第四步：形成[US]、[IS][US]=[-500000]T[IS]=[000-130]T返回第58页，课件共71页，创作于2023年2月第五步：用矩阵乘法求得结点方程下页上页返回第59页，课件共71页，创作于2023年2月例下页上页用矩阵形式列出电路的结点电压方程。解做出有向图52431２3１0返回iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1第60页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页52431２3１0注意g的位置iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1返回第61页，课件共71页，创作于2023年2月代入下页上页返回第62页，课件共71页，创作于2023年2月下页上页*15.6割集电压方程的矩阵形式割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。复合支路用导纳表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-返回第63页，课件共71页，创作于2023年2月结合以上方程有：下页上页以树支电压为未知量返回第64页