离散数学抽象代数

离散数学抽象代数第1页，课件共65页，创作于2023年2月

本部分所要探讨的数学结构是由集合上定义若干运算而组成的系统——称为代数系统(代数结构)。

第2页，课件共65页，创作于2023年2月抽象代数主要内容第7章

抽象代数第8章

群第9章布尔代数

第3页，课件共65页，创作于2023年2月相对古典代数而言,抽象代数也称为近世代数(ModernAlgebra),由于其研究对象是由对象集合及运算组成的数学结构，即代数结构,因此,抽象代数也被称为代数结构或代数系统。抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理论和实践意义,如在程序理论、语义学、数据结构和编码理论,以及逻辑电路设计的研究,此外，抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、布尔代数等典型的代数结构及其应用。第7章抽象代数第4页，课件共65页，创作于2023年2月

本章内容提要：

1.抽象代数概述

2.代数结构及其性质

3.同态与同构

第7章抽象代数重点：代数结构的判定与构造代数结构关系：同态、同构特殊关系：同余关系第5页，课件共65页，创作于2023年2月抽象代数的创始人是两位英年早逝的青年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔,是挪威青年数学家,乡村牧师之子,幼年丧父,家贫。多独创性成果,但大都未受重视,贫病而逝。去逝后3天,柏林大学寄来教授聘书,让后人叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己，而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向国际的“阿贝尔数学奖”。

7.1抽象代数概述第6页，课件共65页，创作于2023年2月NielsAbel

AstatueofAbelinOslo第7页，课件共65页，创作于2023年2月伽罗瓦,是法国青年数学家,其父亲是自由主义思想家,母亲亦受了良好教育,中学时就对数学产生强烈兴趣,他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取，后进入巴黎高师学习,提出“群”的概念。但其论文未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前几天,写下了其主要研究成果,直到40年后,其成果才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦的去逝使数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的数学对象——群、环、域的抽象代数的发展阶段。

7.1抽象代数概述第8页，课件共65页，创作于2023年2月EvaristeGalois

ThisistakenfromaFrenchstampAdrawingdonein1848frommemorybyEvariste'sbrother.第9页，课件共65页，创作于2023年2月7.2.1代数运算例7.1

(1)设A={a,b,c}是一个非空集合,P(A)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}7.2代数结构及其性质在P(A)上并∪运算的结果均在P(A)中φ{a}{b}{c}{a,b}{a,c}{b,c}{a,b,c}φ{a}{b}{c}{a,b}{a,c}{b,c}{a,b,c}∪φ{a}{a}{a,b}{a,c}{a,b}{a,c}{a,b,c}{a,b,c}{b}{a,b}{b}{b,c}{a,b}{a,b,c}{b,c}{a,b,c}{a}{b}{c}{a,c}{b,c}{c}{a,b,c}{a,c}{b,c}{a,b,c}{a,b}{a,b}{a,b}{a,b,c}{a,b}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{c}{a,b}{a,c}{a,c}{a,b,c}{a,c}{a,b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b,c}{b,c}{a,b,c}{b,c}{b,c}{a,b,c}{a,b,c}{b,c}{a,b,c}{a,c}{b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}第10页，课件共65页，创作于2023年2月7.2.1代数运算7.2代数结构及其性质A上乘法*的结果在A中，B上加法+的结果在B中13971397*1397197133971397例7.1

(2)A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下01230123+0123023011230123

B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下第11页，课件共65页，创作于2023年2月7.2.1代数运算例7.1

(3)设Mn(R)是全体n×n实矩阵的集合,考虑Mn(R)中普通的矩阵乘法*,则对于任意两个n×n实矩阵A、B,根据矩阵乘法法则可得到Mn(R)中惟一的一个n×n实矩阵C作为A乘B的结果。我们记C=A*B。7.2代数结构及其性质第12页，课件共65页，创作于2023年2月上述示例中,虽然是对不同集合给出的不同运算,但它们都具有这样一个共同的特点：它们都是某个给定的集合S(S分别为上述二例中的P(A)和Mn(R))中的任意一个或一对有序取出的元素,根据这个法则可在S中找到惟一的一个元素与之对应。由此,我们可以抽象出在一个集合上的二元代数运算的概念。7.2代数结构及其性质第13页，课件共65页，创作于2023年2月定义7.1

设S是一个非空集合。如果有一个法则,它对S中任意两个有序元素a与b,在S中都有一个惟一确定的元素c与它们对应,则称这个法则是集合S中一个二元代数运算。7.2代数结构及其性质第14页，课件共65页，创作于2023年2月一般地,容易得到n元运算的定义：设S是一个非空集合。如果有一个法则,它对S中任意n个有序元素a1,a2,…,an,在S中都有一个惟一确定的元素d与它们对应,则称这个法则是集合S中一个n元代数运算。根据上述定义，可以看到，如果这个法则是S的一个代数运算，则该法则其实就是S上的一个映射(或函数)：Sn→S,n称为这个运算的阶。对于集合S的一个n元运算f,若(a1,a2,…,an)∈Sn在f下的像是c,即f(a1,a2,…,an)→c,则记为c=f(a1,a2,…,an)。7.2代数结构及其性质第15页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质

其他例子：A={0,1}，A上逻辑非、析取、合取运算∨01001111∧01000101¬0110

一元运算

二元运算以上二元运算使用运算表。第16页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质设I为全体整数集合,n是正整数,规定In到I的映射为f：(a1,a2,…,an)→a1,对于任意(a1,a2,…,an)∈In,则f是一个n元运算。其中f(a1,a2,…,an)=a1。上述代数运算的表示方法称为解析公式法,也就是用函数来表示运算。第17页，课件共65页，创作于2023年2月

练习1

通常数的乘法运算是否可看作下列集合上的二元运算？请说明理由。（1）A={1,2}

（2）B={x|x是素数}（3）C={x|x是偶数}（4）D={2n|n∈N}

7.2代数结构及其性质第18页，课件共65页，创作于2023年2月设R为实数集合，它关于普通乘法*是R上的代数运算。R-{0}是全体非零实数集合,对任意a,b∈R-{0},也有a*b∈R-{0}。因此，普通乘法*还是R-{0}上的代数运算。

R关于普通加法+是R上的代数运算。对任意a,b∈R-{0},但不一定a+b∈R-{0}，例如2+（-2）=0。因此，普通加法+不是R-{0}上的代数运算。定义7.2

设S上有n元运算*（n为正整数），S′S,若对任意a1,a2,…,an∈S′，有*(a1,a2,…,an)∈S′,则称S上的*运算对S′封闭，或称为S′在*下是封闭的。7.2代数结构及其性质第19页，课件共65页，创作于2023年2月练习2

A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，>是否封闭，<A，+>，<A，/>呢？

解

2r，2s∈A，2r

2s=2r+s∈A（r+s∈N）∴<A，

>运算封闭

2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭

2，4∈A，2/4A，∴<A，/>运算不封闭7.2代数结构及其性质第20页，课件共65页，创作于2023年2月对于A上两种二元运算ο和*：

若对于任意a,b∈A有：aοb=bοa,则称ο在A上是可交换的(或称ο满足交换律)。若对于任意a∈A有：aοa=a,则称ο在A上是满足幂等律的。若对于任意a,b,c∈A有：当aοb=aοc时，有b=c,则称ο在A上是可左可消去的(或称ο满足左消去律)，若ο在A上是满足左可消去律与右可消去律，则称ο在A上是可消去的(或称ο满足消去律)。7.2代数结构及其性质第21页，课件共65页，创作于2023年2月若对于任意a,b,c∈A,有：aο(b*c)=(aοb)*(aοc);(b*c)οa=(bοa)*(cοa)。

则称ο对于*是可分配的(或称ο满足分配律)。若对于任意a,b,c∈A有：aο(bοc)=(aοb)οc,则称ο为在A上是可结合的(或称ο满足结合律)。若集合A上的二元运算*满足结合律,则我们常用a*b*c来表示(a*b)*c=a*(b*c)。7.2代数结构及其性质第22页，课件共65页，创作于2023年2月于是,进一步可令an=a*a*…*a,an读作a的n次幂。可以通过如下递归定义得到：(1)a1=a;(2)an+1=an*a。利用数学归纳法,不难证明下列公式:(1)

am*an=am+n;(2)

(am)n=amn。其中，m，n∈I+。7.2代数结构及其性质第23页，课件共65页，创作于2023年2月全体n×n实矩阵的集合Mn(R)上普通的矩阵乘法*满足结合律，但不满足交换律。因为一般有：A*B≠B*A，Mn(R)上矩阵乘法*对加法+满足分配律。7.2代数结构及其性质第24页，课件共65页，创作于2023年2月设A=｛1,2,…,m｝,m是一个正整数。A2到A的映射定义为：f：(i,j)→max｛i,j｝,(i,j)∈A2则f是A上的一个二元运算,显然,f满足交换律、结合律。7.2代数结构及其性质第25页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质

逻辑联结词合取、析取、蕴含以及等价都是真值集合{0,1}上的二元代数运算。合取、析取、等价运算满足交换律、结合律。合取对析取满足分配律。析取对合取也满足分配律。第26页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质13971397*1397197133971397A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下乘法*运算满足交换律、结合律、消去律第27页，课件共65页，创作于2023年2月037.2代数结构及其性质01230000*00123024012303B={0,1,2,3,4,5},B上模6乘法*运算表如下450005042045434524034221乘法*运算满足交换律、结合律但不满足消去律，例如2*1=2=2*4，但1≠4第28页，课件共65页，创作于2023年2月

练习3

实数集R上的下列二元运算是否满足交换律和结合律？（1）r1*r2=r1+r2-r1r2（2）r1οr2=(r1+r2)/27.2代数结构及其性质第29页，课件共65页，创作于2023年2月

7.2.2

代数结构

定义7.3

设S是一个非空集合,f1,f2,…,fn是S上的n个代数运算,则S与n个运算所组成的结构称为代数结构或代数系统,记为<S;f1,f2,…,fn>。根据上述定义,一个代数结构需满足如下两个条件：(1)有一个非空集合S,称为载体;(2)一些定义在载体S上的运算。若S为有限集，则该称代数结构为有限代数结构。

7.2代数结构及其性质第30页，课件共65页，创作于2023年2月

例7.5

前面的例子分别列举了如下代数结构：<P(A);∪,∩>,<Mn(R);*，+>,<{0,1};,,,>。这些代数结构均是具体代数结构。7.2代数结构及其性质第31页，课件共65页，创作于2023年2月

定义7.4

设V=<S;*1,*2,…,*n>,S′S,如果运算*1,*2,…,*n在S′上封闭，则称<S′;*1,*2,…,*n>为V的子代数结构，简称为V的子代数(Subalgebra)。根据上述子代数的定义，代数结构V上运算满足的性质，其子代数结构也满足。设R为实数集合，它关于普通乘法*是R上的代数运算。R-{0}是全体非零实数集合,对任意a,b∈R-{0},也有a*b∈R-{0}。因此，普通乘法*还是R-{0}上的代数运算。因此，<R-{0},*>是<R,*>子代数结构。

R关于普通加法+是R上的代数运算。对任意a,b∈R-{0},但不一定a+b∈R-{0}，例如2+（-2）=0。因此，普通加法+不是R-{0}上的代数运算。因此，<R-{0},+>不是<R,+>子代数结构7.2代数结构及其性质第32页，课件共65页，创作于2023年2月

练习4

设V=<I;+,·>，其中I表示整数集，+和分别表示通常数的加法和乘法运算。对下面I的每个子集，确定它是否能构成V的子代数？为什么？（1）H1={2n+1|nI}（2）H2={-1,0,1}（3）H3={2n|nI}7.2代数结构及其性质第33页，课件共65页，创作于2023年2月

7.2.3

代数结构的特殊元素

1.单位元

定义7.5

设ο是集合A上的二元运算，如果存在一个元素el∈A，使得对于任意的a∈A满足elοa=a，则称el是A上关于运算ο的左单位元；如果存在一个元素er∈A，使得对于任意的a∈A有aοer=a，则称er是A上关于运算ο的右单位元；如果存在一个元素e∈A，使得对于任意的a∈A有eοa=aοe=a，则称e是A上关于运算ο的单位元。7.2代数结构及其性质第34页，课件共65页，创作于2023年2月如例7.1中，P(A)上交运算的单位元为A,而并运算的单位元为。Mn(R)上乘运算的单位元为单位矩阵。以后代数结构的单位元常常用e来表示。记a0=e。Mn(R)上加运算的单位元为零矩阵。7.2代数结构及其性质第35页，课件共65页，创作于2023年2月

定理7.1

设ο是集合A上的二元运算，又设el和er分别是ο的左单位元和右单位元，则el=er=e，且e是ο的惟一的单位元。

7.2代数结构及其性质第36页，课件共65页，创作于2023年2月

2.逆元

定义7.6

设ο是集合A上有单位元e的二元运算，对于元素a∈A，如果存在一元素al-1∈A，使得al-1οa=e，则称a是左可逆的，并称al-1是a的一个左逆元；如果存在一元素ar-1∈A，使得aοar-1=e，则称元素a是右可逆的，并称ar-1是a的一个右逆元；如果存在一元素a-1∈A，使得a-1οa=aοa-1=e，则称元素a关于运算ο是可逆的，而称a-1是a的一个逆元。7.2代数结构及其性质第37页，课件共65页，创作于2023年2月

定理7.2

设ο是集合A上的具有单位元e且可结合的二元运算，如果元素a∈A有左逆元和右逆元，则其左、右逆元相等，并且若令al-1=ar-1=a-1，则a-1就是a惟一的逆元。由逆元的定义我们得知，如果a∈A有逆元a-1，则aοa-1=a-1οa=e，因此(a-1)-1=a(即a是a-1的逆元)。例如，每一个实数r∈R均有一个关于加法运算的逆元-r，每一个非零实数r∈R，均有一个关于乘法运算的逆元1/r。显然，对于任何二元运算，单位元是可逆的，其逆元就是单位元本身。

7.2代数结构及其性质第38页，课件共65页，创作于2023年2月

3.零元

定义7.7

设ο是集合A上的二元运算，如果存在一个元素zl∈A，使得对于所有的a∈A，有zlοa=zl，则称zl是A上关于运算ο的左零元；如果存在一个元素zr∈A，使得对于所有的a∈A均有aοzr=zr，则称zr是A上关于运算ο的右零元；如果存在一个元素z∈A，使得对于所有的a∈A均有zοa=aοz=z，则称z是A上关于运算ο的零元(ZeroElement)。

7.2代数结构及其性质第39页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质1为单位元，没有零元13971397*1397197133971397

A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下01230123+0123023011230123

B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下0为单位元，没有零元第40页，课件共65页，创作于2023年2月037.2代数结构及其性质01230000*00123024012303B={0,1,2,3,4,5},B上模6乘法*运算表如下4500050420454345240342210为零元，1为单位元。第41页，课件共65页，创作于2023年2月

与单位元的可逆性不同，零元一般是不可逆的。例如，R上关于一般乘法运算存在零元0，但0是不可逆的。但是否存在其零元可逆的代数结构呢？设该代数结构单位元为e,零元为z，零元可逆，设a为z的逆元，则：zοa=e且

zοa=z,故z=e。 若还存在其他元素b,则可以由z=zοb=eοb=b知，该代数结构只有一个元素，即：<{a};ο>,其中，aοa=a。

7.2代数结构及其性质第42页，课件共65页，创作于2023年2月

定理7.3

若ο是集合A上的二元运算，又设zl和zr分别是ο的左零元和右零元，则zl=zr=z，且z是ο的惟一的一个零元。7.2代数结构及其性质第43页，课件共65页，创作于2023年2月4.幂等元定义7.8

设ο是集合A上的二元运算，如果aοa=a，则称a是A上的二元运算ο的一个幂等元(Idempotentelement)。显然，单位元和零元均是幂等元。7.2代数结构及其性质第44页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质例7.8代数结构A=<{a，b，c};ο>、B=<{a，b，c};*>。分析A、B是否存在单位元、零元、逆元。

*abcaaabbabccaccοabcaabbbabccaba从代数结构A的ο运算看出，b是左单位元，无右单位元；a,b是右零元，无左零元;

(A)(B)从代数结构B的*运算看出，b是单位元,a为右零元，a的右逆元为c，无左逆元，b的逆元为b，c的右逆元为空，左逆元为a。第45页，课件共65页，创作于2023年2月

例7.9

实数集R上的二元运算*：a*b=a+b-ab是否有单位元、零元与幂等元，如果有单位元，哪些元素有逆元？

解

1)设e是单位元，则对a∈R,有e*a=a*e=a。考虑e*a=a，即e*a=e+a-ea=a,亦即e(1-a)=0,由于a是任意的，故e=0。若e=0，即有0*a=a*0=0。因此，0是运算*的单位元。2)设z是零元，则对a∈R,有z*a=a*z=z。考虑z*a=z，即z*a=z+a-za=z,亦即(1-z)a=0,由a的任意性有z=1。从而有1*a=a*1=1。因此，1是运算*的零元。3)设a为幂等元，则应有a*a=a，即a*a=a+a-aa=a，亦即a(1-a)=0，则a=0或1。因此，运算*的幂等元为0或1。4)由1)知单位元为0，设b是a的逆元，则应有a*b=0，即a+b-ab=0，则b=a/(a-1)，因此，对于R中除1以外的任何元素都有逆元a/(a-1)。

7.2代数结构及其性质第46页，课件共65页，创作于2023年2月

练习5

实数集R上的二元运算*定义为：

r1*r2=r1+r2/2集合R关于*运算是否存在单位元、零元和幂等元？7.2代数结构及其性质第47页，课件共65页，创作于2023年2月

7.2.4半群

定义7.9

设S是一个非空集合，若S上存在一个二元运算*，适合结合律，即对于S中任意a，b，c均有(a*b)*c=a*(b*c)，则称代数结构<S；*>是一个半群(Semigroup)。 如果半群<S;*>含有关于运算*的单位元，则称之为单元半群(或称为独异点，Monoid)。 如果一个半群的运算又满足交换律，则叫可换半群。

7.2代数结构及其性质第48页，课件共65页，创作于2023年2月P(A)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}7.2代数结构及其性质<P(A),∪>是单位半群φ{a}{b}{c}{a,b}{a,c}{b,c}{a,b,c}φ{a}{b}{c}{a,b}{a,c}{b,c}{a,b,c}∪φ{a}{a}{a,b}{a,c}{a,b}{a,c}{a,b,c}{a,b,c}{b}{a,b}{b}{b,c}{a,b}{a,b,c}{b,c}{a,b,c}{a}{b}{c}{a,c}{b,c}{c}{a,b,c}{a,c}{b,c}{a,b,c}{a,b}{a,b}{a,b}{a,b,c}{a,b}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{c}{a,b}{a,c}{a,c}{a,b,c}{a,c}{a,b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b,c}{b,c}{a,b,c}{b,c}{b,c}{a,b,c}{a,b,c}{b,c}{a,b,c}{a,c}{b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}{a,b,c}第49页，课件共65页，创作于2023年2月∩{a}B={{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}7.2代数结构及其性质<B,∩

>是单位半群{a,b}{a,c}{a,b,c}{a,b}{a}{a,b}{a,b}{a}{a,c}{a,c}{a,c}{a,b}{a,c}{a,b,c}{a,b,c}C={{a,b},{a,c},{a,b,c}}<C,∩

>不是单位半群{a,b}{a,c}{a,b,c}∩{a,b}{a}{a,b}{a,b}{a}{a,c}{a,c}{a,c}{a,b}{a,c}{a,b,c}{a,b,c}{a}{a}{a}{a}{a}{a}{a}{a}第50页，课件共65页，创作于2023年2月

例7.11

在正整数集I+上，1)普通数的加法是I+的一个可结合的二元运算，<I+；+>构成一个可换半群。2)普通数的乘法是I+的一个可结合的二元运算，<I+；·>构成一个可换半群。3)ο表示如下运算法则：aοb=a+b+ab。由于对于任意正整数a，b，aοb∈I+，故ο是I+上的一个二元运算，下面证明这个二元运算适合结合律:事实上(aοb)οc=(a+b+ab)οc=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc，而aο(bοc)=aο(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abc。故有aο(bοc)=(aοb)οc，即<I+；ο>是一个半群。

7.2代数结构及其性质第51页，课件共65页，创作于2023年2月

例7.12

有限半群必有幂等元。

证明

设<S；*>是有限半群，需证aS，有a*a=a。对bS，由运算封闭性，有b2=b*bS,进一步利用可结合性可得b3，b4，…S。又S有限，故存在i，jN，j>ｉ使得bi=bj。从而有bi=bj=bj-i*bi。现令p=j-i，则对任意qN，q≥i时,有bq=bq-i*bi=bq-i*bj=bq-i*bj-i*bi=bq-i*bp*bi=bp*bq。又p≥1，则存在q≥i，qN，且有kN，使q=kp，从而有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=…=bkp*bkp，令a=bkpS则a*a=a，即a=bkp是<S；*>的幂等元。

7.2代数结构及其性质第52页，课件共65页，创作于2023年2月同态与同构的定义

请分析下面两个代数结构。代数结构V1=<{0，1}；>与V2=<{H，M}；*>同构，其中H，M分别表示高电平，低电平，*表示阈门，它们的运算结果见下表。7.3同态与同构

∨01001111*MHMMHHHH第53页，课件共65页，创作于2023年2月 一个双射g:{0，1}→{M，H}，0→M,g(0)=M，1→H,g(1)=H，7.3同态与同构

∨01001111*MHMMHHHH0∨0=0g(0)*g(0)

=g(0)?

M*M

=M?000MMM0∨1=1g(0)*g(1)

=g(1)?

M*H

=H?110HHM1∨0=1g(1)*g(0)

=g(1)?

H*M

=H?011MHH1∨1=1g(1)*g(1)

=g(1)?

H*H

=H?111HHHV1、V2间的这种关系称为同构关系。

第54页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质13971397*1397197133971397A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下01230123+0123023011230123B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下一个双射g:A→B

1→0,

3→1,9→2,7→3.可以证明：任意a,b∈A,有g(a*b)=g(a)+g(b)例如：g(3*9)=g(27)=g(7)=3g(3)+g(9)=1+2=3<A,*>与<B,+>同构第55页，课件共65页，创作于2023年2月

定义7.10

对于两代数结构设V1=〈S;ο1,ο2,…,οr〉和V2=〈S′;*1,*2,…,*r〉，若(1)是同型的代数结构，即二代数结构运算个数相同，对应的运算的元数也相同;(2)存在从S到S′的一个映射f;(3)在映射f下，V1到V2保持运算，即对于V1中ki元运算οi(i=1，2，…，r)，若任意(x1，x2,…，xki)∈Aki，都有：f(οi(x1，x2…，xki))=*i(f(x1)，…，f(xki))，*i为V1中与Oi对应的ki元运算。则称f是V1到V2的一个同态映射，简称同态,S′是S在f下的同态像，并称V1与V2是同态的，记为V1∽V2。

7.3同态与同构

第56页，课件共65页，创作于2023年2月若f为满射（单射）映射，则称f是V1到V2的一个满（单）同态映射。若f为双射映射，则称f是V1到V2的一个同构映射，简称同构(Isomorphism),S′是S在f下的同构像，并称V1与V2是同构的(Isomorphic)，记为V1≌V2.代数结构到自身的同态或同构映射，分别称为代数结构的自同态或自同构映射，简称自同态或自同构。

7.3同态与同构

第57页，课件共65页，创作于2023年2月7.2代数结构及其性质01230123+0123023011230123<N,+>是整数集合关于普通加法构成的代数系统B={0,1,2,3},B上模4加法+4运算表如下g:N→B

,g(n)=n%4可以证明：任意a,b∈N,有g(a+b)=g(a)+4

g(b)<N,+>到<B,+4>是满同态第58页，课件共65页，创作于2023年2月

例7.14

代数结构<R+;*>,<R;+>同构吗？*、+为一般的乘法、加法运算。

证明显然，<R+;*>与<R;+>为同型代数结构，下面证明二者之间存在双射关系且保持运算。i)建立双射关系h：令h:R+