碰撞与冲击动力学

第1页，课件共62页，创作于2023年2月3-3弹性杆的共轴碰撞两杆的共轴碰撞是应力波产生并发生相互作用的典型问题，本节先对半无限长杆之间的碰撞问题进行求解，包括横截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。第2页，课件共62页，创作于2023年2月3-3-1两半无限长杆的共轴碰撞[例3-3-1]如图，两截面完全相同的半无限长杆，其声阻抗分别为和，撞击前杆中应力均为零且无初始应变，两杆分别以速度v1、v2（>v1）发生碰撞（如图所示），画出波系图、图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。第3页，课件共62页，创作于2023年2月[解]两杆初始应力和应变为零，但初始质点速度不为零，分别为v1和v2，撞击后，在两杆中分别形成了方向相反的强间断弹性波，根据碰撞界面上压力相等（等截面时应力也相等）、质点速度相等条件，两杆从碰撞面开始应力和质点速度逐渐分别由和变为。根据波的传播情况可直接画出波系图和图，波系图中设坐标原点在两杆碰撞面处。第4页，课件共62页，创作于2023年2月

图3-3-1图3-3-2波系图中特征线OA和OB的方程分别为和。第5页，课件共62页，创作于2023年2月根据波阵面上的动量守恒条件，有：

某一时刻的图和某质点位置的图略。第6页，课件共62页，创作于2023年2月讨论：（1）若v1=0，相当于对静止杆的碰撞，有第7页，课件共62页，创作于2023年2月（2）当两材料波阻抗相等时，

此时若v1=0有

若v1=-v2<0，相当于两杆发生迎面碰撞，有图3-3-3第8页，课件共62页，创作于2023年2月（3）若v1=0，∞，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有图3-3-4第9页，课件共62页，创作于2023年2月（4）若∞，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有图3-3-5第10页，课件共62页，创作于2023年2月[例3-3-2]两截面面积分别为A01和A02的半无限长杆，其声阻抗分别为和，撞击前杆中应力均为零且无初始应变，两杆分别以速度v1、v2（>v1）发生碰撞（如图所示），画出波系图、图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。第11页，课件共62页，创作于2023年2月[解]根据碰撞界面上压力相等、质点速度相等条件，由于两杆横截面不等，故界面处速度相等但应力不相等，两杆从碰撞面开始应力和质点速度分别由和变为和。同样，根据波的传播情况可直接画出波系图和图，波系图中仍设坐标原点在两杆碰撞面处。图中所给中的对应于的情况。第12页，课件共62页，创作于2023年2月

图3-3-6波系图中特征线OA和OB的方程同前两杆截面相同时的情况，分别为和。第13页，课件共62页，创作于2023年2月根据波阵面上的动量守恒条件，有：

某一时刻的图和某质点位置的图略。第14页，课件共62页，创作于2023年2月讨论：（1）当两材料波阻抗相等时，第15页，课件共62页，创作于2023年2月（2）若v1=0，∞，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有图3-3-7（图中对应于A01>A02）第16页，课件共62页，创作于2023年2月（3）若∞，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有图3-3-8第17页，课件共62页，创作于2023年2月3-3-2有限长杆对半无限长杆的碰撞对于有限长杆来说，应力波传播到杆端会发生反射，反射后的波通过碰撞界面时发生反射和透射的情况与两杆的波阻抗之间的关系息息相关。本节仅讨论有限长杆对半无限长杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。第18页，课件共62页，创作于2023年2月[例3-3-3]如图，两截面完全相同的一维长杆，其中有限长杆长为L2，声阻抗为，半无限长杆声阻抗为，有限长杆以速度v2撞击静止的半无限长杆，两杆初始应力为零且无初始应变，根据两杆的波阻抗之间的关系分析撞击后应力波在杆中传播的情况，画出波系图、图，求解两杆碰撞后波系图中各区域的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。第19页，课件共62页，创作于2023年2月[解]两杆撞击后，由碰撞界面处背向碰撞面方向传播一次弹性波，为压缩波。设两杆相撞时刻为时刻，当时左传播弹性波到达B2杆左端，在自由端面发生反射，向右传播二次波，为稀疏波，使杆中应力逐渐卸载为0，在时到达两杆相接触的界面，根据两杆的波阻抗关系的不同，应力波此后传播的情况会不同，下面分别讨论。第20页，课件共62页，创作于2023年2月（1）当时两杆波阻抗相等时（但两杆的波速可能不同），波阻抗统一用表示，两杆的波速分别用C01和C02表示。从B2杆左端面向右传播的稀疏波（卸载波）在撞击面处将无反射的进行传播。依据题意可画出相应的波系图和图。图3-3-9（图中对应于）

第21页，课件共62页，创作于2023年2月区和区由于两杆横截面积相等，满足界面处应力和质点速度相等条件，可统一用3区来表示。各区求解过程如下：

1区：2区：3区：第22页，课件共62页，创作于2023年2月4区：

或由

（叠加原理）即时，B2杆从左端自由界面开始反射右传卸载波，使杆中应力和质点速度逐渐卸载到0，时卸载波传到碰撞界面，使碰撞界面处应力和质点速度卸载到0，意味着两杆的撞击结束。第23页，课件共62页，创作于2023年2月归纳：对于4区这种向自由界面传播并发生反射形成的三个区域——2、3、4区之间有这样的关系，即

而类似的区域如果是向固定端传播和反射，则有

第24页，课件共62页，创作于2023年2月

5区：两杆的撞击结束，B1杆左端变成自由界面，卸载波继续向B1杆中向右传播，使杆中应力变为0，则有

根据前面的分析及求解，当时，两杆在时刻碰撞结束，两杆保持接触不分离，但杆中应力和质点速度都变为0。第25页，课件共62页，创作于2023年2月由X-t图可以看出，B1杆中有先行的压缩波和随后的卸载拉伸波，两波间距始终不变，在时刻后B1杆中的应力波形为一矩形波，通常称之为应力脉冲，应力脉冲的长度（对应于两波的间距）由下图可得为。

图3-3-10

第26页，课件共62页，创作于2023年2月当，，即B1杆中所传播的矩形应力脉冲长度是B2杆长度的两倍，此时若改变B2杆的长度就可以获得不同脉冲长度的应力脉冲，这就是在进行有关的动态力学实验中控制脉冲长度的常用方法。

第27页，课件共62页，创作于2023年2月时（当时实际上对应于两相同材料）所对应的X-t图确切来说应修正为下图，但图不变。图3-3-11第28页，课件共62页，创作于2023年2月（2）当时，相当于软→硬（软材料撞击硬材料）依据题意可画出相应的波系图和图。图3-3-12（图中对应于）第29页，课件共62页，创作于2023年2月由图中可以看出，B2杆中由自由界面向右传播的卸载波使杆中应力逐渐变为0，但质点速度变为负值，与B1杆脱离，并使B1杆左端变为自由端，由B2杆传入的卸载波使B1杆中应力逐渐变为0，速度相应也变为0。两杆在时刻碰撞结束，并彼此脱离。

第30页，课件共62页，创作于2023年2月3区：

4区：

或根据前面的归纳直接可写出解值5区有：第31页，课件共62页，创作于2023年2月在B1杆中也是有先行的压缩波和随后的卸载拉伸波，两波间距始终不变，在时刻后B1杆为一矩形应力脉冲，长度为。当时，应力脉冲长度为。

当时，相应的X-t图的特征线也要作相应修正。第32页，课件共62页，创作于2023年2月讨论：若∞，相当于有限长杆→刚体，波形图和图如下。图3-3-13第33页，课件共62页，创作于2023年2月

B1杆相当于刚体，弹性杆撞击静止的半无限长刚体，碰撞界面处有，应力值近似解为。4区的质点速度为，即弹性杆在时刻以大小相等的速度反弹。B1杆中在时间内杆中均布着压力，从时间开始后，刚性杆中应力马上衰减到0，体现刚体受力的瞬时性。第34页，课件共62页，创作于2023年2月（3）当时，相当于硬→软依据题意可初步画出相应的波系图和图如下。图3-3-14第35页，课件共62页，创作于2023年2月由图中可以看出，B2杆中由自由界面向右传播的卸载波使杆中应力逐渐变为0，但质点速度仍为正值，由B2杆传入B1杆中的卸载波在图上是在3、0点所对应的直线上，但两杆是相互脱离、碰撞结束还是保持接触相互作用，还须进一步进行讨论。如果两杆相互作用结束，B1杆左端将成为自由端，即有，则相应有，而，显然B2杆仍会对B1杆发生进一步的碰撞，也就是说两杆仍会相互作用下去，碰撞不会结束。则在两杆碰撞界面上，由于两杆波阻抗不相等，在界面上会有反射和透射，分别向B2杆发生反射和向B1杆发生透射。第36页，课件共62页，创作于2023年2月最终可画出波系图和图如下，图中只画到了7区，实际上可一直延续画下去，趋近无穷。图3-3-15第37页，课件共62页，创作于2023年2月3区：

4区：第38页，课件共62页，创作于2023年2月5区：

6区：……第39页，课件共62页，创作于2023年2月由3-3-15图以及以上各区的解可以看出，B2杆对B1杆的撞击将进行第二次、第三次…，直至无穷次撞击，不过撞击速度和应力波的幅值逐次减小，直至趋进于0。在时刻发生第n次撞击。在B1杆中有先行的压缩波和随后幅值逐渐减小的一系列的卸载拉伸波，各相邻两波间距相等，为（当时，相邻两波间距为）。当时，相应的X-t图的特征线同样要作相应修正。第40页，课件共62页，创作于2023年2月讨论：若∞，相当于刚体→半无限长弹性杆，波形图和图如下。图3-3-16第41页，课件共62页，创作于2023年2月由图中可以看出，，即刚体对弹性杆的撞击相当于进行恒速撞击。界面处有。实际上，由于撞击杆B2本身有初速v2，对于弹性杆B1，其左侧相当于刚壁面，根据前一节的讨论，接触面处恒有，由此也可得到。此解是将撞击短杆作为刚体，实为近似解。第42页，课件共62页，创作于2023年2月刚体对弹性体进行碰撞后，作为刚体有，作为弹性体有。界面上应力相等，则有上式整理并积分，有可得

（a）上式为撞击后的精确解，体现出杆中质点速度与应力都随时间有指数衰减的规律。第43页，课件共62页，创作于2023年2月下面作近似处理。设Mt为时间t内弹性波在传过弹性长杆所对应的质量，有，则（a）式可变为：根据刚体假设，，则上式变为：这与前面讨论的结论一致。第44页，课件共62页，创作于2023年2月3-3-3有限长杆与有限长杆的碰撞相碰撞的两杆均为有限长杆，则分别会有压缩波向两杆中传播，并且分别在两杆的另一端的自由面发生反射，在一定时间后（时间可能相同，也右能不同）回到碰撞面，情形比较复杂。本小节将针对两类特殊的情形进行讨论，首先是两杆发生碰撞，两杆长度之间满足的关系，这样压缩波传播到两杆自由端的时间以及从自由端回到碰撞端的时间分别相等，这种情形还比较简单。另外，还简单讨论三根材料及长度和横截面完全相等的三根杆的碰撞问题。第45页，课件共62页，创作于2023年2月[例3-3-4]如图，两截面完全相同的一维长杆，声阻抗分别为和，长度分别为L1和为L2，设L1>L2并满足条件。B2杆以速度v2撞击静止的B1杆，两杆初始应力为零且无初始应变，根据两杆的波阻抗之间的关系分析撞击后应力波在杆中传播的情况，画出波系图、图，求解两杆碰撞后波系图中各区域的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。第46页，课件共62页，创作于2023年2月[解]由于，L1>L2，故有。设两杆发生碰撞时刻作为时间为0时刻，在时刻两反向传播的压缩波分别到达杆各自的自由端，又在相同的时刻时，从自由端反射的两拉伸波又回到碰撞面。故可初步画出波系图见图3-3-17。此后两杆中的参量值以及彼此的状态关系与材料的波阻抗关系相关，下面仍分三类情形进行讨论。第47页，课件共62页，创作于2023年2月图3-3-17第48页，课件共62页，创作于2023年2月（1）当时此时的图如下。图3-3-18第49页，课件共62页，创作于2023年2月3区：

4区：或直接可给出结果5区：或直接可给出结果第50页，课件共62页，创作于2023年2月由3-3-17、3-3-18图和4、5区解值可知，在时刻，B2杆静止，B1杆以v2飞出，两杆碰撞结束并脱离，B2杆的动能全部传递给B1杆。

第51页，课件共62页，创作于2023年2月（2）当时此时的图如下。图3-3-19第52页，课件共62页，创作于2023年2月3区：

4区：5区：第53页，课件共62页，创作于2023年2月由图3-3-19及4、5区解可知，在时，B2杆以v4速度反弹，B1杆以速度v5（）向右飞出，两杆碰撞结束并脱离，B2杆的动能有一部分传递给B1杆。第54页，课件共62页，创作于2023年2月（3）当时此时的波系图和图如下。图3-3-20第55页，课件共62页，创作于2023年2月3区：

4区：5区：第56页，课件共62页，创作于2023年2月由图3-3-20及4、5区解可知，在时，B1