高中数学-幂函数教学课件设计

课题名称：幂函数主讲人：年级：高一版本：人教A版（2019）单位：§3.3幂函数问题1：如果小明购买了每张1元的煎饼x张，那么她需要付的钱y=

；问题2：如果一个正方形的煎饼仓库边长为x，那么仓库的面积y=

；问题3：如果一个正方体的煎饼包装盒边长为x，那么包装盒的体积y=

；

问题4:如果正方形煎饼仓库的面积为x，那么仓库的边长y=

；

问题5：如果小明去买煎饼，x

秒内骑行1千米，则他骑车的平均速度y=

；

情境引入“泰山安则四海皆安”，泰山位于泰安，据了解，煎饼位于泰安特产榜首。请同学们阅读以下材料并思考问题：这五个函数有什么共同特征？可以统一写成一个一般形式吗？（1）都是以自变量为底的幂（2）指数为常数；（3）自变量前的系数为1。（1）

y=x

（2）

y=x2（3）

y=x3（4）y=x1/2（5）

y=x-1y=xα（α为常数）

一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.幂函数定义答案

(1)xα的系数为1；(2)底数x为自变量；(3)指数α为常数.观察：

表达式的结构有什么特点？例1(1).下列函数中是幂函数有

.y＝x0；y＝1

；y＝2x；y＝x2

y＝2x

；y＝

y＝(3x)2

y＝x4＋1

y＝(x＋1)3牛刀小试解析：

y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.

∵y＝

＝x－2，∴是幂函数；

∴

是幂函数；不是幂函数.（2）.已知幂函数f(x)的图象过点(2,8)，则f(3)＝____.27解析

由f(2)＝8可知2α＝8，即α＝3，即f(x)＝x3，∴f(3)＝27.(3)已知y＝(m2＋2m－2)

＋2n－3是幂函数，求m，n的值.定义域值域奇偶性单调性

五个幂函数的图象与性质：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[0,+∞）R上增奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数xy0xy0xy011111111探求新知xy011{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数在[0，＋∞)上增在(－∞，0]上减[0，＋∞)上增在(0，＋∞)和(－∞，0)上减R上增y=1x=1思考问题一：幂函数的定义域与哪个量有关？如果指数为分数应如何求定义域？问题二：从公共点上看，它们有什么共同点？问题三：从图象的位置分布来看，它们有什么特点？第一象限一定有图象，第四象限一定没有图象，二三象限可能有也可能没有，图象的分布主要依据奇偶性。

图象都过点（1，1)；当α>0时，图象都过（1，1)和（0，0)定义域与α有关，如果指数为分数，可先转化为根式.y=1x=1思考问题四：从奇偶性上看，它们有什么共同点？问题五：从图象的单调性上看，它们有什么特点？在第一象限内，当α>0时函数是单调递增的，当α<

0时函数是单调递减的；其余象限内的单调性可利用奇偶性数形结合得到。当α为整数时，若α为奇数，幂函数为奇函数，若α为偶数，幂函数为偶函数。若α为分数时，可先转化为根式。问题六:第一象限，函数图象高低有什么共同点？x>1时，指大图高；x<1时，指小图高.幂函数的图象与性质三字经定义域根式求；一象限，图都有；四象限，都没有；二和三，看奇偶；奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶；正递增，负递减；都过“1”，正过“0”“1”右侧，指大大；“0”到“1”指小大例2（1）

如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为√牛刀小试①解析：任意两个函数图象的交点最少一个，最多三个0y=xy=x3y＝

在(0，＋∞)上单调递增，但不是偶函数，故A不满足题意.y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增.1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是A.y＝

B.y＝x－1

C.y＝x2

D.y＝x√解析

由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意.[练习]√解析

因为函数f(x)＝

在(0，＋∞)上单调递增，3．在下列四个图形中，的图象大致是(

)反思感悟幂函数图象的画法①先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.②根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.D比较幂值的大小解

(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的(2)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上是单调递减的(3)与.（3）∵函数y1＝

在(0，＋∞)上单调递增，∴<＝1，∴>.反思感悟比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.(2)－3.143与－π3.解

∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.1.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值是_____.解析

因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又在(0，＋∞)上单调递减，3解得m＝3.幂函数性质的综合应用2.若>，则实数m的取值范围为___________.解析

因为y＝

在定义域[0，＋∞)上是增函数，课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)幂函数的定义