高考理科数学-空间中的平行与垂直课件

理科数学5.2空间中的平行与垂直高频考点·探究突破预测演练·巩固提升高频考点·探究突破命题热点一线线、线面平行或垂直的判定与性质【思考】

判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?例1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行.3.要证明线线平行,可考虑转化为证明线面平行.4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.对点训练1(2020广西钦州5月检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD,∠ABC=45°.(1)求证:AC⊥PB;(2)若AD=2PA,且四棱锥P-ABCD的体积为,求△PAB的面积.(1)证明:∵AD⊥CD,AD=CD,∴∠ACD=∠DAC=45°.又AD∥BC,∴∠BCA=45°.又∠ABC=45°,∴∠BAC=90°,即AC⊥AB.∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AC.又PA∩AB=A,∴AC⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB,∴AC⊥PB.命题热点二面面平行或垂直的判定与性质【思考】

判定面面平行或垂直有哪些基本方法?例2如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,CB的中点.(1)求证:平面ABED∥FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明:(1)如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,∵AB=2DE,G为AC的中点,∴DF∥GC,DF=GC,∴四边形DFCG为平行四边形,∴M为CD的中点.又H为BC的中点,∴HM∥BD.又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,∴BD∥平面FGH.∵DE∥GH,∴DE∥平面FGH.又ED∩BD=D,且ED,BD⊂平面ABED,∴平面ABED∥平面FGH.(2)如图,连接HE,GE.∵G,H分别为AC,BC的中点,∴GH∥AB.∵AB⊥BC,∴GH⊥BC.又H为BC的中点,∴EF∥HC,EF=HC,∴四边形EFCH是平行四边形,∴CF∥HE.又CF⊥BC,∴HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,∴BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面EGH.题后反思1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义,判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)利用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.对点训练2如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.命题热点三平行、垂直关系及体积中的探索性问题【思考】

解决探索性问题的基本方法有哪些?例3如图,在该几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC;(2)求四面体F-BCD的体积;(3)在线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?证明你的结论.(1)证明:在△ABC中,因为AC=,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2)解:因为AC⊥平面FBC,所以AC⊥FC.因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中,可得CB=DC=1,所以FC=1.(3)解:线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图.因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以在线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立.题后反思对于线面关系中的探索性问题,通常有以下两种方法:(1)首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足,则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设.(2)先猜想后注明,即先观察与尝试得出条件,然后证明.对点训练3如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.图①图②(1)求证:EF∥平面A1BD;(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.(1)证明:取线段A1B的中点H,连接HD,HF.∵D,E分别为AB,AC的中点,∴HF∥DE,HF=DE,∴四边形DEFH为平行四边形,∴EF∥HD.∵EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,∴EF∥平面A1BD.(2)证明:∵在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,∴AD=AE,∴A1D=A1E.又O为DE的中点,∴A1O⊥DE.∵平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,∴A1O⊥平面BCED,∴CO⊥A1O.在△OBC中,BC=4,易知OB=OC=2,∴CO⊥BO,∴CO⊥平面A1OB.又CO⊂平面A1OC,∴平面A1OB⊥平面A1OC.(3)解:假设线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.连接GE,GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,∵F为A1C的中点,OC⊥GF,∴G为OC的中点.在△EOC中,∵OC⊥GE,∴EO=EC,这显然与EO=1,EC=矛盾.∴在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.预测演练·巩固提升1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(

)A.m∥l B.m∥n

C.n⊥l D.m⊥nC解析:对于选项A,∵α∩β=l,∴l⊂α,∵m∥α,∴m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确;对于选项B,D,∵α⊥β,m∥α,n⊥β,∴m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确.对于选项C,∵α∩β=l,∴l⊂β.∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.2.(2020广东茂名五校二模)某四棱锥的三视图如图所示,点E在棱BC上,且BE=2EC,则异面直线PB与DE所成角的余弦值为(

)B解析:由四棱锥的三视图,还原几何体如图所示,其中底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD.在棱AD上取一点F,使得DF=2AF,连接BF,PF,易得BF∥DE,故∠PBF(或其补角)为异面直线PB与DE所成的角.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足____________________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).

DM⊥PC(或BM⊥PC)解析:连接AC,由PA⊥BD,AC⊥BD可得BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.4.(2020广西北海一模)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,BD1⊥B1D,四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,E,F分别是AB的两个三等分点.(1)求证:D1F∥平面A1DE;(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积.(1)证明:如图,连接AD1交A1D于点M,则M是AD1的中点,连接EM.因为E,F分别是AB的两个三等分点,所以E是AF的中点.所以EM∥D1F.又EM⊂平面A1DE,D1E⊄平面A1DE,所以D1F∥平面A1DE.(2)解:因为四边形ABCD是边长为4的菱形,D1D=6,且D1D⊥底面ABCD,所以侧面为四个全等的矩形,所以侧面的面积为S侧=6×4×4=96.如图,连接BD,B1