第七章阻尼运动

第七章阻尼运动教学目的和基本要求：掌握常见的四种阻尼运动的一般性质和相互之间的区别，在此基础上初步掌握质点在恒力作用下的阻尼直线运动的运动规律。教学重点：掌握阻尼运动的一般性质。教学难点：阻尼产生的物理机制。§7.1阻尼的一般性质一：阻尼的一般性质及其对物体运动的影响.通常物体在运动时总要受到一定阻力的作用，如果没有别的主动力，阻力最终会使物体的运动趋于静止，也就是阻力的一般性质为：阻力一般总是和相对运动有关，总有使相对运动趋于零的趋势。例如：火车、汽车在切断能源后受到的阻力最终会使车停下来。一般情况下如果阻力与别的力相比较小时阻力可忽略不计，但当阻力对运动的影响很大甚至是唯一的作用时，则阻力必须考虑。二：阻力的分类和各自的性质物体在运动中所受到的阻力F的产生原因非常复杂，通常可分为四类。摩擦阻力：固体与固体接触面之间的阻力就是通常所说的摩擦力，关于摩擦力有库仑于18世纪末总结的三条摩擦定律：（1） 在干燥清洁的状态下，固体间的最大静摩擦力与正压力成正比，与接触面积的大小无关，即F=€F。€为静摩擦系数，与材料有关，F为垂直于接触面积的正压力。静sNs N（2） 在同样的状态下，当固体间有相对滑动时，摩擦力仍与正压力成正比，与接触面积和固体间的相对速度无关，即F=€F。€为滑动摩擦系数，与材料有关。滑kNk（3）通常最大静摩擦力大于滑动摩擦力，即€，€，二者的关系间图7.1。sk摩擦力产生的原因很复杂，可以认为当接触面很粗糙时，摩擦力主要由凸凹不平的接触面在相互阻碍运动而产生的；当接触面光滑时，主要是物体间的分子力产生的摩擦力。因后者能解释€,€与材料的关系，所以更有说服力。sk2•粘滞阻力：由于流体间的粘滞性所产生的阻力，通常当速度v不大时，有F二-cv。如小球穿过流体时所受的阻力F=-3兀d,v，d为小球的直径，为,介质的黏度。当物体在流体中有相对运动时，由于靠近物体表面的一层流体跟随物体一起运动，因此物体的一部分动量要转移给周围的介质。当物体的动量减少时，从宏观上看就是物体受到了一定的阻力的作用。尾流阻力：当物体穿过静止不动的介质或者说流体流过一个静止不动的障碍物时，由于流线受到了阻碍，物体的头部要受到动压力的作用而在尾部形成涡流，使物体的头尾之间产生压力差，最终使物体受到一个与相对运动方向相反的力，该力为尾流阻力。牛顿阻力方程：F二(pvc)v…F„v2，即阻力与相对速度的平方成正比。可以认为尾流阻力通常产生于相对速度较大的情况下，而粘滞阻力则产生于相对速度较小的情况下。波阻力：当运动物体的速度超过声速时会形成自物体发射到周围介质的机械波，这就要消耗物体的能量，由此而产生的阻力为波阻力。当物体在水中运动时因,>,，当运动水空气足够大时同样也能产生波阻力。三：阻力的数学表达式.虽然阻力产生的原因很复杂，但它们的共性是都要消耗一定的能量，因而阻力又被称为耗散力。从力学的角度而言，希望不计阻力产生的具体机制而建立它们统一的数学表达式。统一表达式：因阻力与物体的形状、尺寸、周围的介质和相对速度均有关系，并且阻力方向都与相对速度反向，因而可将其统一表达式写成F=-cf(v)，c是与物体的形状、尺寸等有关的系数。f(v)的不同形式.摩擦阻力：当摩擦阻力占主导地位时F二pF，此时f(v)=C。N粘滞阻力：当物体在粘滞流体中运动时并且R= <1.0时(其中v为相对速度，de<为物体的特征尺寸，<=’为流体的运动粘度，R被称为雷诺数)，F二-cv，f(v)=v。pe尾流阻力：当物体在粘滞流体中运动时并且R= >1.0时(式中各变量的含义同上)，e<

F=—2cp62,f(v)=2p62。当物体运动的速度v接近或超过声速时，仍可用F=-2cpcv2来表示阻力，但需注意2此时c=c(v)而非常数。c(v)的具体表达式可通过实验来测出，如图7.2。四.本节重点：掌握阻尼的一般性质及摩擦阻力、粘滞阻力、尾流阻力的数学表达式。§7.2恒力作用下的阻尼直线运动最简单的阻尼运动是主动力F二c或零，物体在此作用力和阻力的共同作用下所做的直线运动。如空气中的自由落体运动、泥砂在水中的沉淀，这种运动可以很方便地写出其动力学方程并求解它。一：动力学方程及其解。1.动力学方程.2.1)由m(d=F"阻=哙=F，f(v)=J=a，2„fw2.1)(2.1)式即为所求的动力学方程，其中…二Fm，2„=cm，卩被称为阻尼因子。方程的解.将(2.1)式转换为dt= dV ，两边同时积分后可得t=\v dV (2.2)…-2„f(v) v0…-2„f(v)求出(2.2)式的积分即可求出v=v(t)。另外利用dx=vdtndt另外利用dx=vdtndt=dxv将其代入(2.1)式消去dt后可得:dx dvv…一2„f(v)v0vdv…—2供(v)2.3)求出(2.3)式的积分可得到x=x(v)，结合已求出的v=v(t)可最终得到x=x(t)。这样由v=v=v(t)、x=x(t)就可确定物体的运动规律。极限速度(收尾速度).由(2.1)式可见当dv=0即速度不再变化时，令此时的速度v=v，可得f(v)=-^。dt 8 8 2„v被称为极限速度或收尾速度，它由…,卩确定而与物体运动的初速度v无关。只要时间足80

够长，物体的运动速度最终会趋近于v。€下面我们分两种情况来具体讨论物体的运动规律。二:f(v)=v时物体的运动规律(a>0).1.运动方程的解v(t),x(t).dv将/dv将/(v)=v代入(2.2)式可得tJ貯2丽nt=2„皿》-力)v0nv(tnv(t)=乌-(乌7)exp(-2卩t)2卩2卩o2.8)将(2.8)式v=v(t)及f(v)=v代入dx(2.3)式可得出x=x(t)或者直接由v⑴=石=JxdxJxdx=Jtv(t)dtnx(t)=-^-t-'(M

002卩2卩‘2卩-v)[1-exp(-2„t)]02.10)€€2„€者确切地说这条直线只是物体运动轨迹的渐近线。157.3(2.8)、(2.10)式即为所求的v(t),x(t)。2.运动规律的讨论.(1)由(2.8)式可见令tT€，则vT=v。从理论上讲只有tT€时，才能认为v=v，2„ €€但是当2„t,3时，e-3=0.05，可认为此时v沁v€1(2)由(2.10)式可知，当tT€时x(t)=vt-r~(v-v)，物体将做匀速直线运动，或0从图7.3、图7.4可见v(t),x(t)的变化规律：与v无关，无论初速度v多大，最终图7.4而tT€时x(t)可看成是有一个初始负位移的匀速直线运动。

可得v(t)€vexp(-2,t),0(3)如果令F€可得v(t)€vexp(-2,t),0x(t)€2^[1—exp(—2,t)]。实例.已知砂粒的密度为„已知砂粒的密度为„，介质的密度为„，12尸阻一3的。当砂粒没入水中时所受的合力为F€mg—F，由此可得a€~2为F€mg—F，由此可得a€~2g2,€£空，另由„d2118…gd2，由上式可见OCd2即砂粒的直径越大则砂粒下落的越快。实际上在空气中也有类似的效应，只是非常不明显而已。例1(从略)三：f(v)€v2时物体的运动规律.1.F与v的方向一致即a>0,如落体运动。0dv将f(v)€vdv将f(v)€v2代入(2.2)式并利用v€笃可得t€<22,€Z2j»—，接下来利U%a-2,v2av01—(上)2v2用<dx€arcthx=1ln用<dx€arcthx=1ln1+x2 2，thx€巴€e:亠可得t€vchxex+e—xvv[arcth( )—arcth(f)]v8将将f(v)€v2代入(2.3)式积分可得x€<vv2<v8Jva—2,v2 avv2—v2v0 v02vdvvdvnX€v2 v2—v2—ln_^ o，2a v2—v28结合以上两式t€t(v),x€x(v)消去v后可得x€ lnch(史)。av22.F与v的方向相反即a<0,如上抛体运动。0同上将f(v)€v2代入(2.2)式可得t€乌<v0 dv，其中a'=|a|。积分后可得a'vv2+v22t€二[arctan(乂)—arctan(上)]，同理可求出x=_^二ln(上一vI)。a' v v 2a' v2+