测量误差与不确定度估计的基础知识

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"+ 1、误差的定义、分类 +\o"CurrentDocument"+ 2、直接测量结果的不确定度估计 ++ 3、间接测量结果的不确定度合成 ++ 4、实验数据的有效数位 ++ 5、数据处理举例 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++1、 误差的定义、分类测量结果y和被测量真值Y之差叫误差，记作A△=y-K（1）物理实验中，真值是一个理想概念，只有通过完善的测量才有可能获得，它一般无从得知，因此一般情况下不能计算误差，只有少数情况下，可以用准确度足够高的实际值作为约定真值，这时才能计算误差。误差主要分为两类：随机误差和系统误差。1） 随机误差随机误差是在同一量的多次测量中以不可预知的方式变化的测量误差分量。随机误差分量是测量误差的一部分，其大小和符号虽然不可确定，但是在同一量的多次测量中，它们的分布常常满足一定的统计规律。均匀分布是一种较常见的误差分布规律，理论和大量实验事实表明，更多的情况下随机误差服从高斯分布，此外，也有服从泊松分布、两点分布、三角分布等情况。测量数据的标准偏差，其值的大小直接体现了随机误差的分布特征，如果大表示测得的数据很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；如果小，表示测得的数据很密集，随机误差分布范围窄，测量精度高。所以一般用标准偏差来表征随机误差的大小。2） 系统误差在同一被测量的多次测量中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量称为系统误差。系统误差一般是由确定的因素引起，包括测量仪器，测量条件及环境，测量方法和测量操作人员等客观因素。大学物理实验中，要重视对系统误差的分析，尽量减少它对测量结果的影响，要对已定的系统误差进行修正，还可以通过方案选择、参数设计、仪器调整及校准、环境条件控制、计算方法改进等环节来减小未定系统误差的限值。+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++2、 直接测量结果的不确定度估计测量时用量具或仪表直接读出测量值的，称为直接测量，相应的物理量称为直接测得量，例如用刻度尺测长度、用电流表测电流等。、测量不确定度的概念不确定度是对被测量的真值所处量值范围的评定，用U来表示，它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度U反映了可能存在的误差分布范围，即误差一般在（-U，+U）之间。二、不确定度的评定方法测量不确定度按评定方法分A类和B类两类分量:A类分量UA是由观测数列用统计分析方法计算的分量；B类分量UB是由其他信息用非统计分析方法评定的分量.。1）A类分量U的计算：U='（〉I" （2）a a n（n-1）1其中x=^Zx,为测量数据的算术平均值，％为测量数据。2） B类分量U的近似估计：一般情况下，把仪器误差限简化的直接当做BUb。3）这两类分量用方和根法合成，即U=U+U2 （3）4） 测量结果的表达式：X=X士U+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++3、间接测量结果的不确定度合成间接测量是指通过测量与被测量有函数关系的其他量才能得到被测量值的测量方法，如由测长度计算矩形面积，由测量导线电阻、长度、和截面积计算电阻率等。间接测量量的不确定度传递公式设被测量Y与直接测量量Xk的函数关系为:TOC\o"1-5"\h\zY=f(Xk) (4)首先写出这个函数的全微分表达式dY=£（场（'JdX） （5）8X / （）k k然后可以得到间接测量量Y的不确定度的传递公式:(6)U=:z(一(U)2(6)Y 6X XkjV k间接测量结果不确定度的计算过程分为三步:1） 先要计算出各个直接测量量xk的不确定度Uxk2） 根据Y和Xk的函数关系式（4）写出Y的全微分式（5）3） 用传递公式（6）计算Y的不确定度UY4）写出被测量Y的结果表达式:++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++4、有效数字实验的数据记录、数据运算以及实验结果的表达，都应遵从有效数字的规则。一、有效数字的基本概念有效数字的一般定义应为：包括一位有误差的数字和所有确切数字都是有效数字。实验工作者都必须遵从有效数字的规则来记录和表达测量数据。即使在没有写出不确定度时，别人也会知道数据的最后一位是不确定的。在明确给出不确定度的测量结果中，要使结果的最后一位与不确定度的值对齐，多余的尾数应按舍人规则舍取。二、数字结尾的舍入规则不确定度的舍入规则不确定度一般只保留一位有效数字。为了保险，多采用全入的办法。一般数据的舍入规则熟知的“四舍五入”规则。++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++5、关于不确定度计算的例题例l使用精度为1/的分光计测量一块三棱镜的顶角10次，其结果列于下表中:nXj%-x(分)(X-x)2160027/00260031/416360024/-39460028/11560032/525660033/636760025/-24860020/-749960024/-391060026/-11x=60。27/£(%-％)2=150

解算术平均值为解算术平均值为x=101营x=60027/ii=1不确定度的A类分量为「巨=1.3/\-10x9对于精度为1/的分光计可取仪器误差限△=1/，所以B类分量为U=1/B不确定度两类分量的合成 U=、、U2+U2=t1.32+12=%：2.69=1.64/«2/AB对三棱镜顶角a的测量结果表示为a=60027/土2/通过此题引起注意的是：用来计算不确定度的标准偏差是对标准误差的估计，所以结果一般只取一位有效数字就够了，对于尾数，为了保险采取“全入”的办法，高级测量可取两位有效数字。不确定度取一位，只适用于在最后结果表示中，中间运算过程还是应多取几位，以免造成太大的偏差。例2牛顿环的数据处理.（钠光灯的波长为人=589.3nm=589.3x10-6mm）环的级数m2525252525环的位置读数（mm）左21.21421.22821.22621.24821.244右31.02031.03231.02431.05231.046环的弦长（mm）S259.8069.8049.7989.8049.802环的级数l1515151515环的位置读数（mm）左22.61822.63022.62822.64622.648右29.60029.62429.61229.63429.638环的弦长（mm）S156.9826.9946.9846.9886.990S25 （mm）9.8028S15 （mm）6.9876S252—S152 （mm2）47.26833408读数显微镜的精度是0.005mm，可粗略的将其仪器误差限确定为0.005mm。所测量的平凸透镜的曲率半径为：R=f（S,S）=（吐—S：）= S2-S2 =2005.27465mmmi 4（m-1）X 4x（25-15）x589.3x10-6

先来计算直接测量量两个弦长s25，s15的不确定度对于弦长S25:U=：…A■0.0000368=0.001356466\,n(n-1) 弋4x5UB=仪器误差限=0.005U=先来计算直接测量量两个弦长s25，s15的不确定度对于弦长S25:U=：…A■0.0000368=0.001356466\,n(n-1) 弋4x5UB=仪器误差限=0.005U=1U2+U2=(0.0013564662+0.0052=、0.00002684=0.00518-0.006*ABS25的表达式:S25=厂土U=(9.803土0.006)mm对于弦长S15:'^(x-x)2 Q0000912U='一、一—= : =0.0021354a弋n(n-1) 4x5UB=仪器误差限=0.005U=.(U2+U2=10.00213542+0.0052=*0.00002956=0.005437-0.006、AbS15=S5土U=(6.988土0.006)mmS15的表达式：对于间接测量量R的不确定度的计算:首先R的函数表达式：R=f(S,S)= 七一L = 一L-251?4x(25-15)x589.3x10-60.023572则有R的全微分:dR=^^dS+*dS，25 dS 1515dS25dR其中dS2510.023572x2xS=2x皿831.75250.0235