涡流及其损耗

6.5涡流及其损耗位于交变磁场中的导体，在其内部将会产生感应电场，形成与磁场铰链的感应电流。感应电流自成闭合回路，呈旋涡状流动，我们称之为涡流。在导体内流动的涡流，与传导电流一样，一方面它会产生损耗，引起导体发热，具有热效应；另一方面涡流也要产生磁场，这个磁场将削弱原磁场，因此涡流又具有去磁效应。涡流的这两个效应既有有利的一面，也有有害的一面。涡流在工业上的应用有：高频加热、电磁灶、涡流检测等。在有的情况下则要减少涡流。因此，对涡流问题的研究是具有实际意义的。6.5.1涡流由于导体中的涡流远大于位移电流，所以仍可在MQS近似下讨论涡流问题。此时涡流问题中的磁场强度H和电场强度E遵从6.4导出的微分方程下面以变压器中的涡流为例，对其进行分析研究。般工频、音频（30Hz〜3kHz）变压器和交流电器的铁心由彼此绝缘的薄钢片叠成，以减少损耗，如图（。）所示。取一薄钢片为分析模型，如图（Q所示。为了EZ*B变压器铁心叠片图分析薄钢片内部电磁场分布，现做如下假设:

（1）认为l和h>>a，场量H、E和J近似为x的函数，与y、z无关;（2）磁场B沿z方向，薄钢片中的涡流无z分量，在xoy平面内呈闭合路径，如图（Q所示。考虑h>>a,可忽略y方向两端的边缘效应，认为E和J仅有y分量Ey量Ey和\，显然H也只有z分量H。根据以上分析可得扩散方程简化后的复数形式方程的通解为2U方程的通解为2UL=jgyH=k2H

dx2 zz（6.5.1）H二H二二C/-kx+C2ekx（6.5.2）根据磁场的对称性显然有c1显然有c1=C2c-―。因此，2可将上式表示成双曲函数形式=C=Cchkx（6.5.3）如果设x~如果设x~0处，bz&）=B则弓|1=B0。因此可得薄钢片中的磁场强度和磁感应强度分别为B。Hz=0chkx（B。Hz=0chkx（6.5.4）RB=Bechkxz0由VXH=J和J=yE8湛E=0shkxy四J=B/shkxyr（6.5.5）（6.5.6）（6.5.7）薄钢片中的磁场和涡流分布如右图所示。由yB和J的模值分布曲线zy此可见，磁场分布是不均匀的，在薄钢片中心处取最小值。涡流密度Jy分布关于y轴呈反对称，中心处为零，在表面取最大值。涡流要产生附加磁场，它的效应是削弱外磁场变化中心处为零，在表面取最大值。涡流要产生附加磁场，它的效应是削弱外磁场变化的，所以磁场分布的不均匀性，这也就是涡流去磁效应的结果。由图还可看出，电磁场比较集中在薄钢片表面附近，由表及里逐渐衰减，呈现出集肤效应现象。对于电工钢片，一般口幻1000%，，=107S/m，厚度1=0.5mm。， :八…… a当工作频率为f=50Hz时，d=： =0.715x10一3m =0.7，集肤效应并不\：①阿 da显著，可以认为B还是沿截面均匀分布的，但当工作频率为1000Hz时，=4.4，d钢片中间的B差不多比表面处要小4.5倍。可见此时用0.5mm厚度的钢片已不合适，要用更薄的钢片。因此，在设计工作于音频、超音频等较高频率的变压器时，必须考虑集肤效应的影响。6.5.2涡流损耗涡流在导体中还将引起损耗，称为涡流损耗。它在体积V内消耗的平均功率可由焦尔定律P=』『|E「dV计算。以图中的薄钢片为例，计算厚度为a，宽为h，V高为/的体积V中的涡流损耗。运用焦耳定律，得P=Jy=hlP=Jy=hlJ； (ch2ax一cos2ax)dx0曰2shkxdV=shkx2dV(6.5.8)«haa-sinaa)

2ap若引入磁感应强度沿截面的平均值为B=1Ja/2Bdx=1Ja/2Bchkxdx列a-a/2z a-a/20=2Bshkx (6.5.9)则可得涡流损耗为hl®B2( )P= zav_Mhaa-sinaa)2ap27kash 2'®pya2、/<(chaa4kJkka22一cosaa)\hl®B2( ) zav_Ishaa-sinaa)x2ap(6.5.10)hly^2a2B2.(shaa-sinaa)(chaa-cosaa)zav•4a.a一当aa— «】，即低频时，将shaa、sinaa、chaa和cosaa各项用幂级数表d示，并略去高阶无穷小项，可得八hly®2a2B2(aa》3hly®2a3B2P牝 za^•/、— zav4a 100)^ 12y®2a2B2— zavV12(6.5.11)a. (shaa-sina