空间向量法解决立体几何问题

空间向量法解决立体几何问题第1页，课件共36页，创作于2023年2月专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；

(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量第2页，课件共36页，创作于2023年2月一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB第3页，课件共36页，创作于2023年2月2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

αn第4页，课件共36页，创作于2023年2月在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα第5页，课件共36页，创作于2023年2月求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.第6页，课件共36页，创作于2023年2月例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy第7页，课件共36页，创作于2023年2月解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).第8页，课件共36页，创作于2023年2月二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab第9页，课件共36页，创作于2023年2月例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD第10页，课件共36页，创作于2023年2月证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

第11页，课件共36页，创作于2023年2月(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL第12页，课件共36页，创作于2023年2月例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy第13页，课件共36页，创作于2023年2月解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(II),而

n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1第14页，课件共36页，创作于2023年2月(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

n1n1n2

n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβα第15页，课件共36页，创作于2023年2月例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1第16页，课件共36页，创作于2023年2月

证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD第17页，课件共36页，创作于2023年2月2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.第18页，课件共36页，创作于2023年2月例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD第19页，课件共36页，创作于2023年2月解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.第20页，课件共36页，创作于2023年2月(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下图).

naa

于是,因此θθnαα第21页，课件共36页，创作于2023年2月例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO第22页，课件共36页，创作于2023年2月解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由得，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴第23页，课件共36页，创作于2023年2月（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2第24页，课件共36页，创作于2023年2月例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.BCzxyABCDS第25页，课件共36页，创作于2023年2月解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为.第26页，课件共36页，创作于2023年2月3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,

这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB第27页，课件共36页，创作于2023年2月例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1第28页，课件共36页，创作于2023年2月解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).

∵,∴异面直线AC1与BD间的距离第29页，课件共36页，创作于2023年2月(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ第30页，课件共36页，创作于2023年2月例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB第31页，课件共36页，创作于2023年2月解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.第32页，课件共36页，创作于2023年2月会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱P