中等数学几何计数问题下

(下(陕西师范大学数学系例4 如图8,锐角△ABC的3条高线相交于H.问图8中共有多少个三角?(容易产生重复与遗漏).2分类计算(,2中见过△ABC36个互不的角形,称为素三角形.2个相邻的素三角形组成的三角3个:△AHB、△BHC、△CHA.3个相邻的素三角形组成的三角形有6个:AHBHBD

10再取点D一方面AD△ABC2,HD(4)如图11,同,取点EF,又各增加了4 4形5形因此,8636116个三3逐步添点法3个三角形△HAB、△HBC、△HCA.

解法4:逐步添个三角形图中共有3个三角形:△ABC 13添高线BE它通过上述,ADC11个四如图14,再添高线CF,考虑其对上述8个三角形及1个四边形的分

335种取法过程略,不能,,这共有6条;三点缺线不能组成三角形.EF而,,EDFD5,但这当中△DEF2,得三点缺线的情况有5×3-2=13个.三角形都被CF 总计有35-6-13=16个三角形,CEHDCF通过了此处容易产生重复或遗漏CFCAB、△CAD、△CBE△HAB,,共增8:△CAF、△CBF、△CAH形分成1个角形和1个四边形,但所增加的2个三角形已计算过了.CF通过四边形CEHD将四边形分成的2个三角形也已计算过了.8816个三角形5分类计算角形).H为顶点的钝角三角形有3个:△HAB直角三角形的直角顶点只能为D、EF,2,每个直角对应2,2×2×3=12个直ABC,1个312116个三角形评析:H,以H9,H为顶点的三角形有7,9+7=16.6排除法

例5对于四边形,2种方法将其剖分为三角形,a4=215)对于五边,5种方法将其剖分为三角形,a5=5(图16).问六边形有多少种方法将其剖分为三角形?:A1A2,△A1A2Akk3456,4类A1A2A3,可A1A2A3,A3A4A5A6A1,5种剖分方法(17). A1A2A4,可A1A2A4,A2A3A4和四边A1A4A5A6,2种剖分方法(18).当剖分图中必含有△A1A2A5,况同(2),2种剖分方法(19) A1A2A6,情况同(1),5种剖分方法(20).522514种剖分方法评析:nan种,并记a2=a3=1则由上述取出1△A1A2Ak(3≤≤n)的同样方法(21),1k-11n-k2,

解法3按照A—D—B—C的顺序分,A6种方法;D6种方法;BA5种方法CABD异色,有3种方法.6×6×5×3540种不同染法.评析3种解法都使用了分步计算回顾解法1找不到问题.解法2可AD,允许同色(故均6种染法,AD,C4120种染法,576120又会产种情况,再相加,得ak-1an-k+2种剖 方法,取遍k=3,4,⋯,n,得(递推an=a2an-1+a3an-2+⋯+an-1a2例 如图22,用4ABCD分别染,要求相邻的区域染不同的颜色.问不同的染色 1A—B—C—D的顺序分四A,,6种颜色都可以使用,有6种染法.C,AB均不,4,4种染法.

,区域C的染法被遗漏的情况.正确的解法可分成3种情况:ADBD,ADBD,31,6×5×4120种染法ADB、D,41,有6×5×4×3=360种染法.120120360600种不同染法为了减少,提出如下两点建议两点间的连线这可以简化图形并凸显关系.始这样能较好避免重复与遗漏.解法4将区域ABCDABCD,当两区域相邻时便故有5种染法 得到一个图(图23).问 解法2:按照A—D—C—B的顺序分,A6种方法;D6种方法;CAD,4种方法;BA

,,C—A—B—D分步染色C6,A5,B4,D5种染法.根轴的性质及应用(湖南师范大学数学 定义A,A,称为点A对于这个圆周的幂.,A的幂是定值A,A

结论1 点A对于以O为圆心的圆周的幂,等于OA及其半径的平方差.结论2 迹,是一条垂直于连心线的直线. ,AO1O2的幂相⊙O1、⊙O2的半径分别为R1R2(R1>R2),AO2-R2=AO2 以该点为中点的弦的半弦长的平方;若点 AO2-AO2=R2-R ,A切线长的平方A,A的幂等于0.收稿日期:2003-03-

如图1设O1O2的中点为D,AMO1O2M, AO2=AD2+OD2+2OD CBADCADB的顺序有同样效果.此外,还可从使用颜色入手分类计算.4,2个,4点组有几类(凡位置相似的算一类)?(答案:6)方形共有多少个?(提示:2,

(2)25,l1l2,l3l4为平行l5l6,l2l3l5三线共点.问图中有多少对同旁内角?(答案:82)(1)△ABCn,n+3个点为顶点,连y条线将△ABC分割成x个互不的角形.求证:x=2n+1,y=3ABC改为多边形A1A2⋯Ak则x?(答案x2n-2+ky3n-3+,n个点每点任意染上红、黄、蓝三色12,3,4,

,10答案2525

之一.求证:三顶点都不同色的 影响三顶点不同色的