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第七节二阶线性微分方程解的结构第1页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的一般形式是其中丶及是自变量的已知函数,函数称为方程(1)的自由项.当时,方程(1)成为这个方程称为二阶齐次线性微分方程,相应地,方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.第2页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程的概念方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节所讨论的二阶线性微分方程的解的一些性质,还可以推广到阶线性微分方程第3页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程解的定理定理1如果函数与是方程(1)的两个解,则也是方程(1)的解,其中是任意常数.第4页，课件共20页，创作于2023年2月函数的线性相关与线性无关定义1设是定义在区间内数.如果存在两个不全为零的常数使得在区间内恒有则称这两个函数在区间内线性相关.否则称线性无关.的两个函第5页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程解的定理定理2若与是方程(1)的两个线性无关的特解,则就是方程(1)的通解,其中是任意常数.第6页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程解的定理定理3设是方程(1)的一个特解,而是其对应的齐次方程(2)的通解,则就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.第7页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程解的定理定理4设与分别是方程与的特解,则是方程的特解.第8页，课件共20页，创作于2023年2月二阶线性微分方程解的定理定理5设是方程的解,其中为实值函数,为纯虚数.则与分别是方程与的解.第9页，课件共20页，创作于2023年2月例1已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：求此方程的通解;写出此微分方程;求此微分方程满足的特解.第10页，课件共20页，创作于2023年2月齐次线性微分方程的解法设是方程(1)的一个已知非零特解,作变量替换第11页，课件共20页，创作于2023年2月解线性微分方程的降阶法把它们代入(1)式,得再作变量替换得第12页，课件共20页，创作于2023年2月解线性微分方程的降阶法分离变量得两边积分得为任意常数).对积分,得为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解第13页，课件共20页，创作于2023年2月解线性微分方程的降阶法为任意常数).代回原变量,就得到方程(1)的通解这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式.第14页，课件共20页，创作于2023年2月例2已知是方程个解,试求方程的通解.的一第15页，课件共20页，创作于2023年2月常数变易法设有二阶非齐次线性方程如果其对应的齐次方程的通解为设非齐次方程(1)的特解为其中是两个特定函数,对求导数,得第16页，课件共20页，创作于2023年2月常数变易法我们补充如下条件:得方程组第17页，课件共20页，创作于2023年2月常数变易法得方程组上述方程组有唯一解.解得第18页，课件共20页，创作于2023年2月常数变易法积分并取其一个原函数,得于是,

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