第二节一阶微分方程

第二节一阶微分方程第1页，课件共27页，创作于2023年2月一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.第2页，课件共27页，创作于2023年2月一、可分离变量方程例如：形如y=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量方程.(1)分离变量将方程整理为使方程各边都只含有一个变量.的形式，第3页，课件共27页，创作于2023年2月(2)两边积分两边同时积分，得故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.第4页，课件共27页，创作于2023年2月例1求方程解

分离变量，得两边积分，得这就是所求方程的通解．第5页，课件共27页，创作于2023年2月例2求方程解

分离变量，得两边积分，得化简得第6页，课件共27页，创作于2023年2月另外，y=0也是方程的解，因此C2为任意常数．求解过程可简化为：两边积分得即通解为其中C为任意常数.中的

C2

可以为0，这样，方程的通解是分离变量得第7页，课件共27页，创作于2023年2月

例3求方程dx+

xydy=y2dx+

ydy满足初始条件y(0)=2的特解.解

将方程整理为分离变量，得两边积分，有第8页，课件共27页，创作于2023年2月化简，得即将初始条件y(0)=2代入，为所求之通解.得

C=3.故所求特解为第9页，课件共27页，创作于2023年2月例4解

分离变量得即第10页，课件共27页，创作于2023年2月两边积分，得经整理，得方程的通解为也可写为第11页，课件共27页，创作于2023年2月二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含y或y，且均为y或y的一次项.①它的特点是：右边是已知函数，第12页，课件共27页，创作于2023年2月称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，0，则称方程①为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常方程②称为方程①所对应的线性齐次方程.②若Q(x)若Q(x)0，则方程成为第13页，课件共27页，创作于2023年2月1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程是可分离变量方程.两边积分，得所以，方程的通解公式为分离变量，得第14页，课件共27页，创作于2023年2月例6

求方程

y

+(sinx)y=0的通解.

解

所给方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解为则第15页，课件共27页，创作于2023年2月

例7求方程(y

-2xy)

dx

+

x2dy=0满足初始条件y|x=1=e的特解.解

将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，则由通解公式得该方程的通解将初始条件y(1)=e代入通解，得C=1.故所求特解为第16页，课件共27页，创作于2023年2月2.一阶线性非齐次方程的解法设y=C(x)y1

是非齐次方程的解，将y=C(x)y1

(其中y1是齐次方程y+

P(x)y=0的解)及其导数y=C(x)y1

+

C(x)y1代入方程则有即第17页，课件共27页，创作于2023年2月因y1是对应的线性齐次方程的解，因此有其中y1与Q(x)均为已知函数，代入y=

C(x)y1中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程所以可以通过积分求得第18页，课件共27页，创作于2023年2月且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数

C(x)，再通过确定

C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.第19页，课件共27页，创作于2023年2月例8求方程2y

-

y=ex的通解.解法一使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为将y及y代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为第20页，课件共27页，创作于2023年2月于是，有因此，原方程的通解为解法二

运用通解公式求解．将所给的方程改写成下列形式：第21页，课件共27页，创作于2023年2月则代入通解公式，得原方程的通解为第22页，课件共27页，创作于2023年2月例9求解初值问题．解

使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程的通解为第23页，课件共27页，创作于2023年2月设所给线性非齐次方程的通解为于是，有将y及y代入该方程，得第24页，课件共27页，创作于2023年2月因此，原方程的通解为将初始条件y(p)=1代入，得C=p，所以，所求的特解，即初值问题的解为第25页，课件共27页，创作于2023年2月例10求方程y2dx+(x-2xy

-

y2)