2023年山东大学附中中考数学四模试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的算术平方根是()

A.B.C.D.

2.如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是()

A.

B.

C.

D.

3.是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上用科学记数法表示是()

A.B.C.D.

4.如图，直线，，交直线于点，，则的度数是()

A.

B.

C.

D.

5.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

6.下列运算正确的是()

A.B.

C.D.

7.不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为()

A.B.C.D.

8.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()

A.B.C.D.

9.如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接若，则的周长为()

A.B.C.D.

10.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象上的一个“阶方形内点”例如，点是函数图象上的一个“阶方形内点”；点是函数图象上的一个“阶方形内点”若关于的二次函数的图象上一定存在“阶方形内点”，则的取值范围是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.因式分解：______．

12.一个边形的内角和为，则．

13.比较实数大小：______填，或

14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，若点的坐标为，则不等式的解集是______．

15.如图，矩形的边，平分，交于点，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是______．

16.如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点，点，点都落在点上若，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：．

18.本小题分

解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．

19.本小题分

如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且求证：．

20.本小题分

为了了解甲、乙两个学校学生的身高情况，某调查小组分别从甲、乙两个学校随机抽取名学生测量了身高并对数据进行整理、分析身高用表示，单位，共分为四个等级：，：，：，：．

抽取的甲校名学生的身高为：

，，，，，，，，，，，，，，；

抽取的乙校名学生的身高中等级包含的数据为：，，，，，；剩余数据中，等级共有人．

抽取的甲校、乙校学生身高统计表和乙校学生身高的扇形统计图如下：

甲校、乙校学生身高统计表

学校平均数中位数众数

甲

乙

根据以上信息，解答下列问题．

______，______，若抽取的乙校学生中，身高等级所占的百分比为，则______．

根据以上数据，你认为哪个学校的学生更高？请说明理由．

若甲校有人，乙校有人，请估计两个学校身高达到及以上的学生共有多少人？

21.本小题分

消防车是灭火救灾的主要装备，如图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为已知液压杆，当，时，求的长结果精确到参考数据：，，，，，

22.本小题分

如图，是的直径，是上一点，连接过点作的切线，交的延长线于点，在上取一点，使，连接，交于点，连接．

求证：；

过点作于点如果，，求的长．

23.本小题分

端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子已知购进甲种粽子的金额是元，购进乙种粽子的金额是元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的倍．

求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的倍，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．

24.本小题分

一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点．

求出，的值；

为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；

在的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

25.本小题分

在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．

如图，点在线段延长线上，当时，与的数量关系为______；的度数为______；

如图，点在线段延长线上，当时，请问中与的数量关系是什么？的度数为多少？请写出你的判断，并说明理由．

如图，点在线段上，当时，连接交于，若，，求的长．

26.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为轴下方抛物线上一点．

求抛物线的解析式；

如图，当点的横坐标为时，为线段上一点，若的面积为，请求出点坐标；

如图，点在轴的右侧，直线与轴交于点，直线与抛物线交于点，连接与轴交于点，请问的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

的算术平方根是，

故选：．

根据算术平方根的定义即可解决问题．

本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

2.【答案】

【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，

故选：．

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

3.【答案】

【解析】解：，

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

4.【答案】

【解析】解：如图，

直线，

．

，

，

，

故选：．

根据平行线的性质，可得与的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是，根据角的和差，可得答案．

本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差．

5.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：．

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．

此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．

6.【答案】

【解析】解：：原式，不符合题意；

：原式，符合题意；

：原式，不符合题意；

：原式，不符合题意；

故选：．

：根据同底数幂的乘法计算．

：根据积的乘方计算．

：根据合并同类项法则计算．

：根据完全平方公式计算．

本题考查完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：列表如下：

问天梦天

问天问天，问天梦天，问天

梦天问天，梦天梦天，梦天

由表知，共有种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有种结果，

所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为．

故选：．

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

8.【答案】

【解析】解：在函数和中，

当时，函数在一、三象限，

函数在一、二、四象限，

故A、均不符合题意，符合题意；

当时，函数在二、四象限，

函数在一、二、三象限，

故C不符合题意．

故选：．

根据两个函数，首先考虑还是的两种情况．当时，函数在一、三象限，函数在一、二、四象限；当时，函数在二、四象限，函数在一、二、三象限．以此即可选择．

本题考查的是反比例函数的图象、一次函数的图象，解题关键是分情况讨论的符号：，，然后根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．

9.【答案】

【解析】解：由题意可得是线段的垂直平分线，，

则，

，

，

，

的周长为．

故选：．

由题意可得是线段的垂直平分线，，可得，由，可得，则的周长为．

本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．

10.【答案】

【解析】解：在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，

如图，设，，，，

当抛物线经过点时，则，

解得；

当抛物线经过点时，则

解得或；

当时，二次函数图象的“阶方点”一定存在．

故选：．

在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．

本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：；

故答案为：．

利用平方差公式即可求解．

本题考查了用平方差公式进行因式分解，关键是确定平方差公式中的和．

12.【答案】

【解析】解：，

解得．

直接根据内角和公式计算即可求解．

本题主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：．

13.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故答案为：．

首先分别求出、的平方的值，比较出它们的平方的大小关系，然后根据正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大，判断出、的大小关系即可．

此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．

14.【答案】

【解析】解：由图象可得，一次函数的图象随的增大而减小，与轴的交点为，则不等式的解集是，

故答案为：．

根据一次函数的性质和图象，可以写出不等式的解集．

本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】

【解析】

【分析】

利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出，的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案．

此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出的长以及的度数是解题关键．

【解答】

解：矩形的边，平分，

，，

，

，，

点是的中点，

，

图中阴影部分的面积

．

故答案为：．

16.【答案】

【解析】解：依题意，，，，

设，

，，，

，

在中，，

解得：，

同理，

又，

在中，，

，

设，

，，

在中，

，

解得：．

故答案为：．

由折叠的性质得出，，由勾股定理，得出，进而在中，，列出方程即可求解．

本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，得出，是解题的关键．

17.【答案】解：

．

【解析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．

本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．

18.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

原不等式组的解集是．

非负整数解为，，，，．

【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．

19.【答案】证明：四边形是菱形，

，，

在与中，

，

≌，

，

．

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：抽取的甲校名学生的身高为：，，，，，，，，，，，，，，，

众数，

把乙校名学生的身高从小到大排列，排在最中间的数是，故中位数；

，

，

故答案为：，，；

甲校的学生更高，理由：甲校的中位数大于乙校的中位数，故甲校的学生更高；

人，

答：估计两个学校身高达到及以上的学生共大约有人．

根据题意和题目中的数据，以及扇形统计图中的数据，可以计算出、、的值；

先判断，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，主要合理即可；

根据题目中的数据，可以计算出两个学校身高达到及以上的学生共有多少人．

本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】解：，

，

．

，

，

，

，

，

．

答：的长约为．

【解析】利用锐角三角函数可求，的长，即可求解，结合图形求得的长度．

本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．

22.【答案】证明：是直径，

，

，

是的切线，

，

，

；

，，

，

；

解：如图，

，，

∽，

，

，

的长为．

【解析】利用同角的余角相等即可解决问题；

先根据相似三角形的性质得出，再利用∽，可得答案．

本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价为元，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

则，

即甲种粽子的单价为元，乙种粽子的单价为元；

设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，总费用为元，

依题意得：，

，

，

，

随的增大而增大，

当时，有最小值为：元，

此时个，

即购进个甲种粽子，个乙种粽子．

【解析】设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价为元，由题意：购进甲种粽子的金额是元，购进乙种粽子的金额是元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少个，列出分式方程，解方程即可；

设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，总费用为元，可得与的函数关系式，再根据解答即可．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据题意列函数关系式，再根据解答即可．

24.【答案】解：把点坐标代入一次函数解析式可得：，

，

点在反比例函数图象上，

；

当时，，

解得，

当时，，

解得，

一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，

点的坐标为，点的坐标为，

为线段上的点，

点坐标为，

则点；

解法二：设，则，

则有，

解得，或舍去

；

设点，

点，点，

由点、的坐标得，，

由题意知，为菱形的边，

则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，

则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，

由中点坐标公式和得：

或，

解得：或，

即点的坐标为：或或或．

【解析】用待定系数法即可求解；

求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，求出点的坐标，即可求解；

分为菱形的一边和菱形的对角线，两种情况分别求解即可．

本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、待定系数法求函数表达式等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．

25.【答案】

【解析】解：如图中，

将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，

，

，，，

，是等边三角形，

，

，

，，

≌，

；

如图中，设交于点．

≌，

，

，

，即；

故答案为：，；

结论：；．

理由：如图中，

，，，

，，

，

，

，

∽，

，

；

设交于，

∽，

，

，

，

又，，

，

，

即；

如图，连接，

，，

是等边三角形，

，，

将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，

，，

是等边三角形，

，，

，

≌，

，，

，

∽，

，

，

设，，

，

，

，

解得负值舍去，

．

可证得≌，由全等三角形的性质得出，，进而得出结论；

证出，可证明∽，进而得出，，证出；

如图，连接，根据等边三角