备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题25平面向量的模长问题

********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********专题25平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度.本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.（一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式aa2cos0a2可得：a2a2，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条1、模长平方：通过a件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方axy,，则ax2y2.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所2、坐标运：算若求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（二）几何法ab1、向量和差的几何意义：已知向量,，则有：ab（1）若,共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线ababa,b（2）若,首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，aba,b围成一个三角形abab2、向量数乘的几何意义：对于a灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中0时，与同向；时，0a与a反向aaaaaa（2）模长关系：3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABCcABCabc三个内角,,所对的边为,,ab①正弦定理：sinAsinBsinC②余弦定理：a2bc2bccosA22（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形.（3）矩形：若四边形ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点在以为CABABCACPBAP2，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）直径的圆上，其中A.2B.1C.D.01【答案】BBC【解析】连结，则ACB=90∵APPC灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********∴ACPBPC21∴ACPB的最大值为1故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.ab例2.已知向量,的夹角为45，且a1,2ab10，则b（）A.2B.2C.22D.32【答案】D4【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知AB2,B,AC10，只需利用余弦定求理出即可.BC解1：如图可得：，在bBCABC中，有：AC2AB2BC22ABBCcosB灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********例3.已知向量,，且a1,bab2，则2ba的取值范围是（）A.1,3B.2,4C.3,5D.4,6【答案】3,5灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********2ba4b4aba174abcosa,b178cosa,b222解2：因为cosa,b1,12ba29,252ba3,5即例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（）A.B.D.C.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，可得：，，灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，则下列说法错误的是上，点在圆A.的取值范围为B.取值范围为C.的取值范围为D.若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C上，点N在圆C上，12∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），则∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；故选B．ab例6.【2017浙江，15】已知向量，满足a1,b2,则abab的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，25【解析】灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********【名师点睛】本题通过设入向量,的夹角，结合模长公式，解得ababab54cos54cos，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．ababab例7.【2017课标1，理13】已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=.【答案】23【解析】a4|b|4421cos60412试题分析：|2|||4abab222ab所以|2|1223.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出a2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．【答案】灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴∵，∴∴所以向量与的夹角是120°.故填120°.例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量a与的夹角为30°，，则的最大值为bab2ab_________．【答案】4234ab2，利用基本不等式和向量的运算，求的ab23，进而可求得ab【解析】分析：由题意的最大值.灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********ab22a2b22ab44ab44abcos30423所以ab0ab442328163ab，当且仅当时，等号成立，23ab28163423.所以点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．例10.已知平面向量,,满足a1,b2，且，若向量的夹角为，则的最abcab1ac,bc60c大值是_________.221【答案】322132213BDd2RsinBAD，即cmax灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********2213答案：CDBA【精选精练】则1．已知正方形ABCD的边长为1，A.B.C.D.【答案】C等于（）【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，所以，则，因为，故选C．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量值为（），，且，则的A.B.C.D.灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，则的取值范围是（）A.B.，且，C.D.【答案】D【解析】故选：D.灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********4．对于任意向量，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.a3，b2，ab4,，则a﹣b5．已知向量，满足：ab3A.3B.5C.D.10【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．详解：∵||=3，||=2，|+|=4，abab∴|+|=||+||+2=16，ababab222ab∴2=3，ababab∴|﹣|=||+||﹣2=9+4﹣3=10，222∴|﹣|=10，ab故选：D．ABCAB5AC10ABAC25ABC，点是内（包P6．【2019届四川省绵阳市三诊】中，，，32AC（5AB），则的最大值是（）括边界）的一动点，且APRAP533A.B.37C.39D.412【答案】B灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********因为10，所以37AP2的最大值为，故37，选B.APmax162129，其中点睛：本题中向量AB,AC的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算AP2的取值范围可以由的位置来确定.P7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，利用配方法可得的最小值.，灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】在中，如图所示，，，是是上一点，且，设，所以，所以，解得，所以，故选C．8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知m，n是两个非零向量，且m1，m2n3，则mnn的最大值为（）A.5B.10C.4D.5灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********【答案】B【解析】x52y2225，：C21，5y29．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆C：2x1动圆满足与外切且与内切，若为CC1CMC上的动点，且CMCM0，则CM的最小值为（）211A.22B.23C.4D.25【答案】Ax52y2225，52xy21，圆：【解析】∵圆：CC122582864122.，选A.1025x2010x641,8x8,CM646400min灿若寒星********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********10．设向量，，满足，abcab1，a·b1ac,bc60则的最大值等于（）c2A.2B.3C.2D.1【答案】A【解析】∵ab1，且a·b1，∴的夹角为120°，a，b2,设OAa,OBbOCc则CAacCBbc则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠A