2-8-一次、二次函数的交点（解析版）-2023年升初三人教版暑假衔接教材

❊2.8一次、二次函数的交点考点先知考点先知知识考点一次、二次函数的交点1.求一次、二次函数的交点2.利用交点比较函数大小3.利用交点解决部分面积问题题型精析题型精析知识点一次、二次函数的交点知识点一次、二次函数的交点一次函数与二次函数的交点问题求函数y=kx+m与函数y=ax2+bx+c交点的方法是：联立构造一元二次方程若Δ>0时两个函数有_______交点.若Δ=0时两个函数有_______交点（相切）.若Δ<0时两个函数有_______交点.题型一求一次、二次函数的交点题型一求一次、二次函数的交点例1求函数与函数的交点坐标.例1例2若函数与函数有两个交点，求m的取值范围.例2变1求函数与函数的交点坐标.变1变2若函数与函数有交点，求m的取值范围.变2题型二利用交点解决问题题型二利用交点解决问题类型一类型一利用交点比较函数大小例1如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________．例1【答案】【分析】根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．【详解】抛物线与直线相交于点，，关于的不等式的解集为，故答案为：．例2如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．例2【答案】【分析】根据题意得出当时，则，进而结合函数图象得出x的取值范围．【详解】解：根据题意得出当时，则，则从图象看，关于x的不等式的解集为，故答案为：．变1如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为________．变1【答案】或【分析】由求关于的不等式的解集，即求一次函数的图象在二次函数的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．【详解】解：∵求关于的不等式的解集，即求一次函数的图象在二次函数的图象下方时（包括交点），x的取值范围，又∵结合图象可知当和时，一次函数的图象在二次函数的图象下方，∴关于的不等式的解集为或．故答案为：或．变2如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是________．变2【答案】【分析】根据图象可得点A右侧与点B左侧抛物线在直线上方，进而求解．【详解】解：整理不等式，可得，∵直线与抛物线交于，两点，∴的解集为，故答案为：．类型二类型二利用交点解决面积问题在解决某些二次函数的面积问题时，如“面积相等”、“面积最大”等问题时，我们可以利用直线的平行来解决这类问题.例1若函数与相较于M、N两点,点P是二次函数位于MN下方的一个动点，例1则当面积最大时，求P点的坐标.PP【分析】以MN为底，“底定高最大”则面积最大，所以当P到MN的距离最大时，三角形的面积最大.【解答】如图所示，做一条与一次函数平行的直线，平移该直线，使得直线与二次函数相切，切点为P，此时三角形的面积最大.例2如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3）．例2（1）求抛物线的函数表达式；[]（2）在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；[]（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的坐标．变1如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.变1（1）求抛物线的解析式；[]（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由.【分析】以MN为底，“底定高最大”则面积最大，所以当M到AB的距离最大时，三角形的面积最大.【解答】如图所示，做一条与一次函数平行的直线，平移该直线，使得直线与二次函数相切，切点为M，此时三角形的面积最大.变2在例1中，若点P在MN上方运动，且满足，求P点的坐标.变2【分析】以MN为底，“同底等高”则面积相等，所以当P到MN的距离与O到MN的距离相等时，两个三角形的面积相等.【解答】变3在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．变3（1）求抛物线和一次函数的解析式；[][]（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．课后强化课后强化1.如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为________．【答案】【分析】根据图象可直接进行求解．【详解】解：由图象可得：当时，则有；故答案为．2.如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（-1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【解题思路】（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．（2）根据图象交点坐标求解．【解答过程】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，解得m＝﹣1，∴y＝（x+2）2﹣1，当x＝0时，y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，∴点B坐标为（﹣4，3）．（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．3.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求点，，的坐标；（2）是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求点的坐标．【分析】（1）令，求出点坐标，令，求出、点坐标；（2）由题意可知点到轴的距离为3，由此求点坐标即可．【解答】解：（1）令，则，，令，则，解得或，，；（2），，的面积与的面积相等，点到轴的距离为3，点坐标为或，或，．4.如图，已知抛物线与轴交于点，顶点为，与轴交于，两点在左侧）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式及点和的坐标；（2）连接和．在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点为，可把抛物线解析式设为，再把点代入解析式，求出即可得到抛物线解析式；再令，解方程即可求出，坐标；（2）连接交轴与，设点坐标为，直线的解析时为，然后用待定系数法求出的解析式，再求出点坐标，从而求出，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值即可．【解答】解：（1）抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，抛物线与轴交于点，，解得，，令，则，解得，，，；（2）存在，理由：连接交轴与，如图所示：设点坐标为，直线的解析时为，把，代入解析式得：，解得，直线的解析时为，令，则，，，，若，则，，化简得：，解得（舍去），，．5.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标．【分析】（1）先求出点，利用待定系数法可求解；（2）过点作交于点，先求出点坐标，设点，则点，利用面积和差关系可求解；【解答】解：（1）直线与轴交于点，，，点，抛物线经过点，，，，抛物线的解析式为：；（2）如图1，过点作交于点，抛物线与轴的交点为、，，，，点，设点，则点，，四边形面积，当时，四边形面积有最大值，此时点；6.如图所示，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结．（1）求抛物线顶点的坐标；（2）在直线上方的抛物线上有一点，使得四边形的面积最大，求点的坐标及四边形面积的最大值．【分析】（1）化为顶点式求解即可；（2）先求出的面积，然后判断出的面积最大时四边形面积最大，求出直线的解析式，设过点与轴平行的直线与相交于点，表示出，再表示出的面积，然后利用二次函数的最值问题求出点的横坐标以及的面积，最后求解即可；【解答】解：（1），抛物线顶点的坐标为；（2）令，则，解得，，点，，令，则，点的坐标为，，，，的面积最大时四边形面积最大．设直线的解析式为，则，，．设过点与轴平行的直线交于点，，，则，，当时，的面积最大，最大值为，此时，，所以，当点时，四边形面积最大，最大值为．7.如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标；【解答】解：（1）把，，三点代入抛物线解析式得：，解得：，该抛物线的解析式为①；（2）存在，理由：由，则顶点，对称轴为直线，，，，，，直线解析式为，点，如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则直线的表达式为：②，联立①②并整理得：，解得：，则点的坐标为，或，；对于直线，设交轴于点，令，解得：，即点，则，取点使，过点作的平行线，如上图，则点，则直线的表达式为：，联立和得：，则△，无解，故在点的右侧不存在点，综上，点的坐标为，或，；8.如图，已知抛物线的图象经过点，与轴交于，两点，顶点坐标，连接交对称轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上的一个动点，位于直线的上方（点与，不重合），过作轴的平行线交于点；①设点的横坐标为，当四边形是平行四边形时，求的值；[]②在①的条件下，抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由顶点坐标，设顶点式为，利用待定系数法代值求解即可得到答案；（2）①当时，则，得到点，根据待定系数法确定函数关系式得到解析式为，由，设点，则点，得，根据四边形是平行四边形，得到，利用两点之间距离公式列方程求解即可得到答案；②分两种情况：当点、点在直线的同侧时，如图所示，由四边形是平行四边形，得，，当点与点重合时，，求得点；②当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，如图所示，，设直线的解析式为，将代入得到直线的解析式为，点，从而有，由，，得到与的距离与与的距离相等，从而，根据直线的解析式为，联立方程组得，解得或，即可得到答案．【解答】解：（1）顶点坐标，设二次函数解析式，把代入，解得，抛物线解析式为；（2）①当时，则，，，点，