指数与指数函数复习课

要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做

___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,

这里n叫做_________，a叫做___________.§2.4指数与指数函数a的n次方根根式根指数被开方数基础知识自主学习（2）根式的性质

①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的

n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____

表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,

负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.a④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：

（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1④正分数指数幂：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤负分数指数幂：==(a>0,m、n

∈N*,且n>1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂

_____________.（2）有理数指数幂的性质

①aras=

______(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=

______(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=

_______(a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr0没有意义3.指数函数的图象与性质R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1减函数增函数练习：1、下列等式中一定成立的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个2、计算下列各式A题型分类深度剖析0.09-14、右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx

的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()A.a<b<1<c<dC.1<a<b<c<dB.b<a<1<d<cD.a<b<1<d<c3、判断下列函数是否是指数函数答案

B3.指数函数的图象与性质R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1减函数增函数5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有（）

A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a>0且a≠16、比较大小：C1、求函数定义域与值域一、指数函数定义域与值域分离参数—化归利用函数的有界性—逆求例2、设a>0,且a≠1,如果函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]的最大值为14，求a的值。[提示]二、指数函数的性质【例3】(12分)设函数f(x)=为奇函数.

求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.

由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;

第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪解(1)方法一依题意，函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二

∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，设x1<x2且x1,x2∈R，8分10分∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.12分

(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1<x2推得实质上应用了函数

f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.探究提高知能迁移2

设是定义在R上的函数.（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.

三、指数函数的图象及应用【例3】已知函数

(1)作出图象；

(2)由图象指出其单调区间；

(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.

思维启迪

化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值解（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x<0)y=3x+1(x<-1).向左平移1个单位向左平移1个单位图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.

在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.探究提高知能迁移3若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.

解析数形结合.

当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.

当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1,1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0<a<1，

x→+∞时，y→0；当a>1，x→-∞时,y→0;当a>1时，

a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、

(0,1)、(-1,).方法与技巧思想方法感悟提高3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究.2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.失误与防范考点2指数函数的图象及应用〔变式训练2〕考点3指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小考点3指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小C角度2利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式角度3与指数函数有关的复合函数问题〔变式训练3〕(3)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.指数函数问题中的数学思想方法换元法：对于含有指数函数的函数，如同时含有ax，a2x等的函数、方程、不等式的问题，常用换元法求解，但解题时一定要注意参量的取值范围．(1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y＝f[g(x)]的值域应先求内层u＝g(x)的取值范围，再根据u的取值范围去求y＝f(u)的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得．数形结合思想：一些关于指数的方