2021年四川省成都市牟礼中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年四川省成都市牟礼中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．【解答】解：=，即为3ccosA=acosC，即有3c?=a?，即有a2﹣c2=b2，又a2﹣c2=2b，则2b=b2，解得b=4．故选A．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．3.已知复数，则＝

（

）A． B． C． D．参考答案：D略4.在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积小于的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：C5.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则的值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】抛物线及其标准方程H7B解析：由题意可知，点为抛物线的焦点，所以不妨设轴，从而，，故选B.【思路点拨】解本题若是注意到点为抛物线的焦点，就可以利用特殊情况（轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线，利用进行求解.6.函数的部分图象大致是（

）参考答案：C略7.已知函数则函数的零点个数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是参考答案：D本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.9.某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为A．

B．

C．

D．参考答案：D10.设集合M={1,2,3}，N={x|），则=(

)A．{3}

B．{2,3}

C．{1,3}

D．{1,2,3}参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，则f[f]=

．参考答案：1【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．12.设函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：a≥﹣1【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，可得﹣a≤1，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，∴﹣a≤1，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．13.函数的最大值为

。

参考答案：本题考查三角函数最大值的求解，难度中等.因为（其中），所以其最大值是.14.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

.参考答案：？当时,;,;,;,;时,满足条件,输出.故判断框内的条件是.15.已知的展开式中，的系数为，则

．参考答案：2二项展开式的通项为，由得，，即，因为的系数为80，所以，即。16.把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为

.

参考答案：略17.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且，则圆的标准方程为

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的长轴长为4，离心率(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS，BS与直线：分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．参考答案：(1)由题意得，故，因为，所以，，所以所求的椭圆方程为．(2)依题意，直线AS的斜率存在，且，故可设直线AS的方程为，从而，由得．设，则，得，从而，即，又由B(2，0)可得直线SB的方程为，化简得，由得，所以，故，又因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以时，线段MN的长度取最小值．略19.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆。在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元。（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低。参考答案：略20.

某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85），第3组[85，90)，第4组[90，95),第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：

若要在成绩较高钓第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：

(I)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；

(Ⅱ)在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有名学生接受篮球项目的考核，求的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A,第三组人数为，第四组人数为，第五组人数为，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…2分第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则:

…5分（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量可能的取值为0,1,2，3．

且，则随机变量的分布列为:0121.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标是.（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求的面积.参考答案：（1）极坐标方程为.（2）【分析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积.【详解】（1）由消去，得到，则，∴，所以直线的极坐标方程为.点到直线的距离为.（2）由，得，所以，，所以，则的面积为.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键.22.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有+…+＜．参考答案：【考点】等差数列的前n