河北省秦皇岛市现代科技中学部2022年高三数学文期末试题含解析

河北省秦皇岛市现代科技中学部2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则，则实数的值等于（

）

A．－3

B．－l或3

C．1

D．－3或l参考答案：2.已知：

则等于(

)A.－1 B.1 C.－2 D.2参考答案：B3.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】双曲线、抛物线的定义B4

解析：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵，∴|PA|=m|PN|,∴,

设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx-1，代入x2=4y，可得x2=4（kx-1），

即x2-4kx+4=0，∴△=16k2-16=0，∴k=±1，∴P（2，），

∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（-1）∴双曲线的离心率为．故选C．【思路点拨】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合，可得，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．4.若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共辄复数（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意可得：，结合共轭复数的定义可知：.本题选择D选项.

5.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

略6.抛物线C1：y=

x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=A.

B.

C.

D.参考答案：D经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.7.已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为,过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是A.

B.C.

D.参考答案：D【考点】立体几何综合点线面的位置关系【试题解析】连接，显然与所成角都相等。

在平面都可以过A作一条不同于的直线，

与所成角都相等，所以m=4。

易知与三个平面所成角都相等。

同理在平面都可以过A作一条不同于的直线，

与所成角都相等，所以n=4。8.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

（

）

A．56个

B．57个

C．58个

D．60个参考答案：C略9.某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x（吨）与生产能耗y（吨）的下列对应数据：x2468y3467根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程=x+1.5，那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（）A．4.625吨 B．4.9375吨 C．5吨 D．5.25吨参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归方程求出回归系数，再代入模型预测x=5时y的估计值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2+4+6+8）=5，=×（3+4+6+7）=5；回归直线方程=x+1.5经过样本中心，所以5=5+1.5，解得=0.7，∴回归方程是=0.7x+1.5；当x=5时，=0.7×5+1.5=5（吨）．故选：C．10.定义在上的函数满足，任意的都有是的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C因为；，且关于对称，所以时，反之也成立：时，，所以选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行右边的程序框图，则输出的结果是

.

参考答案：略12.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且当x∈［-1,1)时，f（x）=，则f（5）=

.

参考答案：【知识点】函数的值。L4

【答案解析】1解析：函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，f（5）=f（1）=f（﹣1）．又f（x）=，∴f（5）=f（﹣1）=﹣2+1+2=1．故答案为：1．【思路点拨】利用函数的周期性化简f（5），然后求解函数的值．13.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于

。参考答案：略14.若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围是__________.参考答案：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点(xi，))（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧

因直线y=x与y=交点为：（-2，-2），（2，2）；所以结合图象可得a＞0且x3+a＞-2且x＜-2或者a＜0且x3+a＜2且x＞2，解得a的范围是15.如图，正方体中，E,F分别为棱上除端点以外的两点.已知下列判断：①；②上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关.其中正确判断的为（只要求填写序号）：参考答案：②③16.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若|AF1|：|AB|=3：4，且F2是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．5参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义得到三角形F1AB是直角三角形，根据勾股定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：设|AB|=4x，则|AF1|=3x，|AF2|=x，∵|AF1|﹣|AF2|=2a，∴x=a，∴|AB|=4a，|BF1|=5a，∴满足|AF1|2+|AB|2=|BF1|2，则∠F1AB=90°，则|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，得e==，故选B．17.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，D是线段AB上一点，且AD=3BD.球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O的表面积为

．参考答案：100π将三棱锥P—ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为，设球的半径为R，PA=2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即O=x，连接C，则C=4，，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连接D，E，则在直角三角形OD中，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三，球的表面积为故答案为：100π.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.参考答案：(1),参考解析;(2)参考解析试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..由获得60元的事件数除以总的事件数即可.顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X.①依题意,得.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.②依题意,得X的所有可能取值为20,60..即X的分布列为X

20

60

P

0.5

0.5

所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为

20

60

100

的期望为,的方差为.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为

40

60

80

的期望为,的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.19.设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．参考答案：解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，解得a=1．经检验，a=1符合题意．（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（，2）上递减，所以x=时，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a；综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2﹣2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为﹣lna﹣1．③当a≥1时，f（x）最大值为﹣a．略20.（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的值域以及函数的单调区间．参考答案：

（2）因为，所以

,所以

函数的增区间为，减区间为21.（本小题满分12分）已知函数

（1）若，求的单调区间；

（2）若由两个极值点，记过点的直线的斜率，问是否存在，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案：【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用．B12(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)不存在实数，使得。解析：（Ⅰ）的定义域为，当时，当或，时，，........................2分当时，..........的单调递增区间为，单调递减区间为..........4分（Ⅱ）令，则，当，即时，，在上单调递增，此时无极值；..............5分当，即时，，在上单调递增，此时无极值.............6分当，即或时，方程有两个实数根若，两个根，此时，则当时，，在上单调递增，此时无极值.................7分若，的两个根，不妨设，则当和时，，在区间和单调递增，当时，，在区间上单调递减，则在处取得极大值，在处取得极小值，且即……（*）............9分即令，则上式等价于：令则令在区间上单调递减，且，即在区间恒成立在区间上单调递增，且对，函数没有零点，即方程在上没有实根，..11分即（*）式无解，不存在实数，使得..12分【思路点拨】(1)