2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期末数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期末数学试卷（含解析）2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.()

A.B.C.D.

2.正方形的边长是，是的中点，则()

A.B.C.D.

3.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为米，底面圆的半径为米，则该组合体体积为()

A.立方米B.立方米C.立方米D.立方米

4.等边三角形中，()

A.B.C.D.

5.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是、、，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()

A.B.C.D.

6.在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

7.已知，，与的夹角为，则的值是()

A.B.C.D.

8.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是()

A.B.C.D.

9.平面内两条直线，都平行于平面，则与的关系是()

A.平行B.相交C.重合D.不确定

二、多选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10.已知，为不同的直线，，为不同的平面，下列命题为真命题的有()

A.，B.，

C.，D.，

11.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．则()

A.B.

C.平面D.与平面所在的角为

12.等腰直角三角形直角边长为，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.若与平行，则______．

14.若，则______．

15.若复数为虚数单位，，则______．

16.如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则______．

四、解答题（本大题共4小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知锐角，，满足，，求．

18.本小题分

在复平面内，，的对应的复数分别为，，．

求；

判定的形状．

19.本小题分

如图，在正四棱锥中，，，、、分别为、、中点．

求证：平面；

三棱锥的体积．

20.本小题分

已知点，，为坐标原点，函数．

Ⅰ求函数的解析式及的最小正周期；

Ⅱ若为的内角，，，求周长的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由于．

故选：．

直接利用复数的模的运算求出结果．

本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：正方形的边长是，是的中点，

所以，，，，

则．

故选：．

由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．

本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：由题知底面圆的半径，圆柱高，圆锥高，

圆柱体积，

圆锥的体积，

该组合体体积为立方米．

故选：．

由题知底面圆的半径为，圆柱高，圆锥高，代入圆柱、圆锥体积公式，能求出结果．

本题考查圆柱、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：延长到，则为与的夹角，

与的夹角为．

故选：．

延长，则的补交为与的夹角．

本题考查了平面向量的夹角，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：如图，

长方体中，，，，

则，

则长方体外接球的半径为，

可得长方体外接球的表面积．

故选：．

由已知求得长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．

【解答】

解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

故，，

设异面直线与所成角为，

，．

异面直线与所成角的余弦值为．

故本题选A．

7.【答案】

【解析】解：，，与的夹角为，

则．

故选：．

直接利用向量的数量积化简求值即可．

本题考查平面向量的数量积应用，考查计算能力．

8.【答案】

【解析】解：在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，

可得，

还原原图形如图：

则，，则．

故选：．

把斜二测直观图还原，求出、的长度，代入三角形面积公式得答案．

本题考查斜二测画直观图，熟记斜二测的画法是关键，是基础题．

9.【答案】

【解析】解：若直线与直线为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得，

若，如图：可能，也可能与相交．

故选：．

充分考虑两个平面的位置关系即可判断．

本题考查两个平面的位置关系，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于：垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；

对于：，或，故B错误；

对于：由面面垂直的判断定理，故C正确；

对于：垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．

故选：．

由立体几何中线线，线面，面面的位置关系，逐个判断，即可得出答案．

本题考查立体几何中，线线，线面的位置关系，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：显然错误；

若，由，则平面，则，显然不成立；

C、，又，可得到成立；

D、连接，因为平面，

所以是与平面所成的角在中，

所以，

所以与平面所成的角为成立；

故选：．

根据线面垂直的判定定理与性质定理，结合反证法判断即可．

考查线面垂直的判定定理与性质定理，属中档题．

12.【答案】

【解析】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为，高为，所以母线长，这时表面积为；

若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为，所以表面积，

综上所述该几何体的表面积为，，

故选：．

分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论，当绕的边是直角边是，所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积，当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积，而扇形面积等于，进而求出所形成的几何体的表面积．

考查旋转体的表面积，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：与平行，

则，解得．

故答案为：．

根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．

本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：因为，则，，

又因为，则，

且，

解得或舍去，

所以．

故答案为：．

根据同角三角关系求，进而可得结果．

本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．

15.【答案】

【解析】解：由已知得．

所以复数对应复平面内的点．

设，则复数对应复平面内的点．

由得．

在复平面内，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆．

所以．

故答案为：．

先运用复数的四则运算把复数整理为代数形式，得出对应复平面内点的坐标，最终问题转化为求圆上动点到圆外一定点距离的最大值，容易解决．

本题考查复数的四则运算、复数的模及复数的几何意义，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：连接，如图，

在直二面角中，，，，

所以，

又，

所以，

又，

所，

所以在中，，

故答案为：．

连接，在直二面角中，，，，推出，又，则，进而可得在，即可得出答案．

本题考查空间中两点之间的距离，解题中需要空间想象能力，和推理能力，属于中档题．

17.【答案】解：、是锐角，则，

因为，，

所以，，

所以

．

【解析】由已知结合同角平方关系及两角差的正弦公式即可求解．

本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．

18.【答案】解：根据复数的几何意义，得，，，

所以，同理：，．

由得，

故，所以为直角三角形．

【解析】利用复数的几何意义得到点，，的坐标，再根据向量的定义与坐标表示即可解决问题；

观察中的向量坐标，发现，故可判定的形状．

本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．

19.【答案】解：证明：连接，

四边形为正方形，、分别为、中点，

，

又，，，，五点共面，平面，平面，

平面，

在正四棱锥中，连接，交于点，连接，

则平面，又平面，所以，

所以，

，

因为，为中点．

所以

，

故．

【解析】通过证明得到平面；

先求得，通过体积转化得，求得

本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．

20.【答案】解：Ⅰ，，

，

的最小正