泗阳县实验高级中学2022-2023学年高一下学期第二次质量调研数学试卷（Word含解析）

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、计算的结果是()

A.B.C.iD.

2、在锐角三角形ABC中，，则()

A.B.C.D.

3、对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()

A.若，，则B.若，，则

C.若，，则D.若，，则

4、已知，，，，则()

A.B.C.D.

5、已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是()

A.B.C.D.

6、在中，，，，若，则等于()

A.B.C.D.

7、若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是()

A.l至少与a，b中一条相交

B.l至多与a，b中一条相交

C.l至少与a，b中一条平行

D.l必与a，b中一条相交，与另一条平行

8、直三棱柱中，，，则与平面所成的角为()

A.B.C.D.

二、多项选择题

9、下列各式中值为的是()

A.B.

C.D.

10、在等腰直角三角形ABC中，斜边，向量，满足，，则()

A.B.C.D.

11、下列表述中错误的是()

A.若直线平面，直线，则

B.若直线平面，直线，且，则

C.若直线a平行于平面内的两条平行直线，则

D.若直线a垂直于平面内的两条相交直线，则

12、在正方体中，点P是线段上一动点，则下列各选项正确的是()

A.B.平面

C.直线与平面所成角随长度变化先变小再变大

D.存在点P使得过A有4条直线分别与和AP所成角大小为

三、填空题

13、已知是锐角，，则的值是_________.

14、已知复数z满足，的虚部为-2，z所对应的点A在第二象限，则_________.

15、已知两个不同平面，和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：

（1）若，，则

（2）若a，b在平面α内，且，，则

（3）若，分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交

（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交

其中正确的命题是________.（请写上正确命题的序号）

16、如图，在圆锥SO中，AB为底面圆的直径，，P为SB上的点，，D为底面圆周上的点，，则异面直线SA与PD所成角的余弦值为_________.

四、解答题

17、已知向量，满足，，.求：

（1）；

（2）与的夹角.

18、已知，.

(1)求的值；

(2)若且，求的值.

19、如图，长方体中，，，点P为的中点.

(1)求证：直线平面PAC；

(2)求异面直线与AP所成角的大小.

20、如图，四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且.

(1)求证：平面PEC；

(2)求证：平面PCD.

21、在中，，，M是边AB上一点，且.

（1）若，求的面积；

（2）是否存在？若存在，求BM的长；若不存在，说明理由.

22、如图，在正方体中：

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）

（1）证明：平面；

（2）若，点P是棱CD上一点（不包含端点），平面过点P，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值.

参考答案

1、答案：C

解析：.

故选：C.

2、答案：A

解析：在锐角三角形ABC中，，由正弦定理得，

又，所以，且，故.

故选：A.

3、答案：D

解析：对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；

对于B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；

对于C，m与n垂直，故C错误；

对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.

4、答案：C

解析：因为，，

所以，

，

，

因为，，所以，

因为，而，，

所以，因此，故，

故选：C

5、答案：A

解析：在上的投影向量是：

.

故选：A

6、答案：A

解析：

.

故选A.

7、答案：A

解析：因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.

若l与a、b都不相交，则，，，与a、b异面矛盾，故A对；

当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.

故选：A.

8、答案：A

解析：由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，O为上底面对角线交点，

所以，而面ABC，面ABC，故，

又，BC,面，故面，

则与平面所成角为，若，

所以，，则，故.

故选：A

9、答案：ACD

解析：对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确；

对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确；

对于选项C：由两角和的余弦公式

；故选项C正确；

对于选项D：由两角差的正切公式可得：

故选项D正确.

故选：ACD

10、答案：ACD

解析：由题意，等腰直角三角形ABC，，

，,，

又,,

对A，，故A对；

对B，，故B错；

对C，，故C对；

对D，，故D对；

故选：ACD

11、答案：ABC

解析：对于A选项，若直线平面，直线，则或或b、相交（不一定垂直），A错；

对于B选项，若直线平面，直线，且，则或a、相交（不一定垂直），B错；

对于C选项，若直线a平行于平面内的两条平行直线，则或，C错；

对于D选项，若直线a垂直于平面内的两条相交直线，由线面垂直的判定定理可知，D对.

故选：ABC.

12、答案：AB

解析：对于A：连接，

由正方体的性质可得：,

，平面

平面，，故A正确；

对于B：连接,,BD

易证：,

,BD,平面

,,平面

平面平面

平面，平面，故B正确；

对于C：连接，平面

即为直线与平面所成角，

当P从移动至的过程中，增大，先变小再变大，即先变大再变小，故C错误；

对于D：，

与成角的直线与AB也成，

当P在C或时，，

故过A点的直线中，有2条分别与AB和AP所成角大小为，即过A有2条直线分别与和AP所成角大小为，故D错误.

故选：AB.

13、答案：

解析：由于是锐角，，

所以，

所以.

故答案为：

14、答案：

解析：设复数，则，所以，

又，且的虚部为-2，则，

因为z所对应的点A在第二象限，即点在第二象限，所以，

故，解得，故.

故答案为：.

15、答案：（3）（4）

解析：（1）a在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a与定直线b所成的角是任意的，故（1）错误；

（2）当a,b平行时，不能保证直线c垂直于平面，直线c甚至可以在平面内，故（2）错误；

（3）假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在内，故a,c平行，同理b,c平行，

根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；

（4）如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面，是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，

直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.

在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，，则直线a与点P确定一个平面，

可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面内)，

由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.

16、答案：

解析：在BA上取点，使得，连接，此时，所以即为直线SA与PD所成角.

在中，，，，由余弦定理得，，

过P作，在中，，，，由余弦定理得，

在中，，，所以.

在中，，，，

所以.

故答案为：.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由，得，

故，代入，，得，

由，得

（2）由

故与的夹角为.

18、答案：(1)7；

(2).

解析：(1)，，，，

；

(2)，

，，，，

由（1）知：，

.

19、答案：(1)证明见解析

(2)30°

解析：（1）设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，

P是的中点，

，

又平面PAC，平面PAC，

直线平面PAC；

（2）由(1)知，，

即为异面直线与AP所成的角，

，，且，

.

又，

故异面直线与AP所成角的大小为.

20、答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：（1）设G是PC的中点，由于F是PD的中点，

所以，

由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，

所以，

所以，

所以四边形AFGE是平行四边形，

所以，

因为平面PEC，平面PEC，

所以平面PEC.

（2）由于平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为，，PA、平面PAD，

所以平面PAD，

因为平面PAD，

所以，

因为,F是PD的中点，

所以，

因为，PD、平面PCD，

所以平面PCD.

21、答案：（1）

（2）不存在，理由见解析.

解析：（1）在中，，，

由余弦定理得，，

则

（2）不存在，理由如下：

若，

则,为锐角，

则为钝角，则，

所以，

这与已知矛盾，

所以不存在.

22、答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）证明：连接BD，，

在正方体中，，

由平面ABCD，平面ABCD，得，

又因为，故平面，

又因为平面，

故，

同理，

又因，

所以⊥平面；

（2）过点P作，交AD于点Q，

过点Q作，交于S，

过点S作，交于R，

则