2022-2023学年四川省成都市丽春中学高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年四川省成都市丽春中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（

）参考答案：B2.要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位参考答案：C【分析】由三角函数的平移变换求解即可【详解】函数的图像向右平移个单位得故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移变换，熟记变换规律是关键，是基础题3.（5分）已知函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（） A． 、2 B． 、4 C． 、 D． 、4参考答案：B考点： 对数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 由题意可知0＜m＜1＜n，以及mn=1，又f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，可得出f（m5）=5求出m，故可得m、n的值．解答： f（x）=|log4x|，图象如图，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴0＜m＜1＜n，再由f（m）=f（n），得|log4m|=|log4n|，即﹣log4m=log4n，∴log4mn=0，∴mn=1，又函数在区间[m5，n]上的最大值为5，由于f（m）=f（n），f（m5）=5f（m），故可得f（m5）=5，即||=5，即=﹣5，即m5=4﹣5，可得m=，∴n=4．∴m、n的值分别为、4．故选：B．点评： 本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜m＜1＜n，以及mn=1及f（x）在区间[m2，n]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．是中档题．4.已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（1）?g（2）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f（1）?g（2）＜0，即可选出答案．【解答】解：由指数函数和对数函数的单调性知，函数f（x）=ax和g（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，故可排除选项A、D．而指数函数f（x）=ax的图象过定点（0，1），对数函数g（x）=logax的图象过定点（1，0），再由关系式f（1）?g（2）＜0，故可排除选项B．故选C．【点评】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力，属于基础题．5.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C解析：圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝，则所求的圆的半径为，故选C.6.一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是(

)．A. B. C. D.参考答案：C【分析】正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，可求得外接球半径，代入表面积公式求得外接球表面积；再求解出正方体表面积，作比得到结果.【详解】设正方体的棱长为，则正方体表面积正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，即正方体外接球表面积本题正确选项：C【点睛】本题考查多面体的外接球表面积求解问题，属于基础题.7.定义域为上的奇函数满足，且，则（

）A．2

B．1

C.

-1

D．-2参考答案：C,因此，选C.

8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B和平面A1B1CD所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，则=（1，0，﹣1），设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ，sinθ===，∴θ=，∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为．故选：B．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9.已知△ABC中，，，，则(

)A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．60°或120°参考答案：D10.已知向量，若与垂直，则实数x的值是（

）A. B.－4 C.1 D.－1参考答案：D【分析】根据向量垂直的坐标关系求解.【详解】因为，与垂直，所以，即，解得.故选D.【点睛】本题考查向量垂直.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于_________．参考答案：

12.设角α=﹣π，则的值等于．参考答案：

【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简所求表达式，然后代入求解即可．【解答】解：角α=﹣π，======．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．13.能够说明“设a、b、c是任意实数,若,则”是假命题的一组整数a、b、c的值依次为__________.参考答案：－1,－2,－3试题分析：，矛盾，所以?1，?2，?3可验证该命题是假命题.

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．14.函数的最大值是

参考答案：15.已知，，则等于

；参考答案：16.函数的值域是_________

参考答案：17.对于定义在R上的函数f(x),有如下四个命题：①若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数；

②若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数；③若f(0)＜f(4)，则函数f(x)在R上是增函数；④若f(0)＜f(4)，则函数f(x)不是R上的减函数；其中正确的命题为

参考答案：②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）

已知函数（）.

（1）若，试确定函数的单调区间；

（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.

（3）若，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解：当时，，所以，

由，解得，

由，解得或，

所以函数的单调增区间为，减区间为和.

（Ⅱ）解：因为，

由题意得：对任意恒成立，

即对任意恒成立，

设，所以，

所以当时，有最大值为，

因为对任意，恒成立，

所以，解得或，

所以，实数的取值范围为或.

（III）.

略19.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，当x=时，f（x）取得最大值．（1）求f（x）的解析式；（2）求出f（x）的单调区间．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得ω、再根据最大值求得φ，可得函数的解析式．（2）由条件利用正弦函数的单调性求得它的单调区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=sin（ωx+φ+）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ+）．根据当x=时，f（x）=sin（2?+φ+）=，∴φ+=2kπ+，k∈Z，∴取φ=，∴f（x）=sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为，k∈Z；同理求得函数的减区间为，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值、以及它的单调性，属于基础题．20.（本小题满分10分）已知集合，.

（1）当时，求集合,；

（2）若，求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，所以,

所以

(2)因为，所以

①当时，，即,此时

②当时，即，此时

综上所述，m的取值范围是21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；（Ⅱ）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）函数是上的奇函数，则，求得.……2分又此时是上的奇函数.所以为所求.

………………4分（Ⅱ）函数的定义域是一切实数，则恒成立.即恒成立，由于.

……6分故只要即可

………………7分（Ⅲ）由已知函数是减函数，故在区间上的最大值是，最小值是.

…………………8分由题设

………11分故为所求.

…………12分

22.（附加题）（本小题满分15分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

（1）证明AD⊥D1F;

（2）求AE与D1F所成的角;

（3）证明面AED⊥面A1FD1;

（4）．

参考答案：解法一:（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1.

又D1F面DC1，

∴AD⊥D1F.

（2）取AB中点G,连结A1G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，

∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.

（4）连结GE，GD1.

∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=又

解法二：利用用向量