经济数学线性代数第二章

经济数学线性代数第二章第1页，课件共52页，创作于2023年2月1.

二阶行列式对于给定的二元线性方程组其系数矩阵是一个二阶方阵.第2页，课件共52页，创作于2023年2月用消元法求解线性方程组（1），得该式中的系数称为由二阶方阵所确定的二阶行列式，记为第3页，课件共52页，创作于2023年2月矩阵的行列式还记作或，即一般地，二阶行列式可按下图所示的对角线法则确定其值：第4页，课件共52页，创作于2023年2月方阵与矩阵的区别：二阶方阵是个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵）按一定的运算法则所确定的一个数．第5页，课件共52页，创作于2023年2月若记则，二元线性方程组解可以表示为第6页，课件共52页，创作于2023年2月例1

求解二元线性方程组解

因为所以第7页，课件共52页，创作于2023年2月定义

对于一个给定的3阶方阵2.三阶行列式将之与数相对应，那么这个数就称为由矩阵所确定的三阶行列式第8页，课件共52页，创作于2023年2月记作第9页，课件共52页，创作于2023年2月例2

计算三阶行列式解

第10页，课件共52页，创作于2023年2月利用消元法求解，则可得方程组的解为对于三元线性方程组，如果它的系数行列式第11页，课件共52页，创作于2023年2月为书写方便，将之记成其中是用常数项替换中的第列所得的三阶行列式，即第12页，课件共52页，创作于2023年2月例3

解三元线性方程组解第13页，课件共52页，创作于2023年2月习题：P25,1.（2）、（3）第14页，课件共52页，创作于2023年2月第二、三节排列、n阶行列式的定义和性质定义1由1,2,3...,n组成的有序数组称为一个n级排列。n级排列的总数为n!定义2在一个排列中前面的数大于后面的数，那么这个称为后面那个数的一个逆序，每个数的逆序总数称为这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，反之为偶排列。逆序数的计算：例排列45321的逆序第15页，课件共52页，创作于2023年2月n阶行列式定义三阶行列式定义可以看出：（i）(1)式右边的每一项都恰好是三个元的乘积，这三个元位于不同的行和列，且可以写成，每个元的行标排成自然顺序123，列标排成,是123的某个排列，这样的排列有6种，对应右端6个多项式。（ii）带正号的三项列标排列是：123,231,312；带负号的为132、213、321，前面三个为偶排列，后面为奇排列。多项式的符号可以表示为为列标排列的逆序数。第16页，课件共52页，创作于2023年2月经分析，三阶行列式可以写成把该情形推广到n阶矩阵第17页，课件共52页，创作于2023年2月例1证明n阶对角行列式第18页，课件共52页，创作于2023年2月例2证明上三角形行列式用定义！第19页，课件共52页，创作于2023年2月定理1n阶行列式也可定义为第20页，课件共52页，创作于2023年2月行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然．性质2

互换行列式的两行(列),行列式变号．推论若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零．第21页，课件共52页，创作于2023年2月性质4

行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式．推论1

行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2

行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零．第22页，课件共52页，创作于2023年2月性质5

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第行的元素都是两数之和：第23页，课件共52页，创作于2023年2月则等于下面两个行列式之和：性质6

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变．第24页，课件共52页，创作于2023年2月例3计算例4计算第25页，课件共52页，创作于2023年2月例5设证明第26页，课件共52页，创作于2023年2月3.阶行列式展开式（1）设是一阶方阵，则它所 确定的一阶行列式定义成 数．采用递归的方法给出其定义：（2）二阶矩阵，它所定 义的二阶行列式第27页，课件共52页，创作于2023年2月（3）对于三阶矩阵所确 定的三阶行列式第28页，课件共52页，创作于2023年2月即第29页，课件共52页，创作于2023年2月（4）假设由阶方阵所确定的阶行列式已有定义，那么，阶方阵所确定的阶行列式用归纳法定义为第30页，课件共52页，创作于2023年2月第31页，课件共52页，创作于2023年2月那么，上述行列式的定义可记为将阶矩阵的元素所在的第行第列处的元素划去后，中剩下的个元素按原来的排列顺序组成阶矩阵所确定的行列式记作，称之为的余子式，为的代数余子式第32页，课件共52页，创作于2023年2月数也称为行列式的第行第列处的元素，而元素，，，所在的对角线称为行列式的主对角线；另一条对角线称为行列式的次对角线．第33页，课件共52页，创作于2023年2月推论

方阵的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和等于零，即

性质3

行列式按行（列）展开法则

行列式等于对应于它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即

第34页，课件共52页，创作于2023年2月例1第35页，课件共52页，创作于2023年2月例2这里记号“”表示全体同类因子的乘积．证明范德蒙（Vandermode）行列式第36页，课件共52页，创作于2023年2月现假设式对阶范德蒙行列式成立，为此，从第行开始，后行减去前行的倍，有证用数学归纳法．因为所以，当时等式成立．要证明等式对阶行列式也成立．第37页，课件共52页，创作于2023年2月提出，就有按第一列展开，并把每列的公因子第38页，课件共52页，创作于2023年2月，故上式右端的行列式是一个阶范德蒙行列式其中按归纳法假设，它等于所有因子的乘积第39页，课件共52页，创作于2023年2月例3

计算阶行列式解

行列式中每行元素之和均为，从第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行减去第1行：第40页，课件共52页，创作于2023年2月第41页，课件共52页，创作于2023年2月第42页，课件共52页，创作于2023年2月

在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程中，虽然我们用到了性质2，4，6中的各种运算，但是起关键作用的是运算，其他几种运算只是使计算过程变得简单一点而已．稍作分析，便不难发现任何阶行列式总能利用运算化为上三角形行列式，或化为下三角形行列式．类似，利用运算也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式．第43页，课件共52页，创作于2023年2月例4

设证明第44页，课件共52页，创作于2023年2月证对作运算，把化为下三角行列式，设为对作运算，把化为下三角行列式，设为第45页，课件共52页，创作于2023年2月于是，对的前行作运算，再对的后列作运算，把化成下三角行列式即第46页，课件共52页，创作于2023年2月6.克拉默（Cramer）法则对方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组第47页，课件共52页，创作于2023年2月定理1（克拉默法则）的行列式,那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为

如果线性方程组（1）的系数矩阵第48页，课件共52页，创作于2023年2月注意：将行列式按第列展开，显然其中是把矩阵中的第列换成方程组的常数项所成的矩阵行列式，即

第49页，课件共52页，创作于2023年2月对于齐次线性方程组显然一定是解，称为零解.将克拉默法则用于齐次线性方程组（5），可得定理1′

如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。第50页，课件共52页，创作于2023年2月定理2

如果齐次线性方程组（5）的系数矩阵的行列式那么它只有零解；也就是说，如果方程组（5）有非零解，那么必有第51页，课件共52页，创作于2023年2月例1:求一个二