职高数学各章节知识点梳理

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Chapter1SetsI.ConceptofSets1.Characteristicsofelementsinaset:determinacy,distinctness,anddisorder.2.Relationshipbetweenelementsandsets:a∈A,a∉A.3.Commonnumbersets:SetNameRepresentationII.RelationshipsbetweenSetsNote:1.Subset:Ifasethasnelements,thenthenumberofsubsetsis2^n,andthenumberofpropersubsetsis2^n-1.Theemptysetisasubsetofanysetandisapropersubsetofanynon-emptyset.2.Complement:CUA={x|x∈Uandx∉A}.3.Intersection:A∩B={x|x∈Aandx∈B}.III.OperationsbetweenSets1.Union:A∪B={x|x∈Aorx∈B}.2.Intersection:A∩B={x|x∈Aandx∈B}.IV.NecessaryandSufficientConditionsp→q:pisasufficientconditionforq,andqisanecessaryconditionforp.p↔q:pisanecessaryandsufficientconditionforq,andqisanecessaryandsufficientconditionforp.I.BasicPropertiesofInequalities1.Additionrule:2.Multiplicationrule:3.Transitivity:4.Movingterms:II.SolvingQuadraticInequalitiesChapter2InequalitiesI.QuadraticFunctionsy=ax^2+bx+c(a>0)anditsgraph.II.SolvingAbsoluteValueInequalitiesChapter3FunctionsI.ConceptofFunctions1.Twoessentialelementsofafunction:domainandcorrespondencerule.Conditionsforthedomainofafunction:(1)Thedenominatorofafractioncannotbezero.(2)Theradicandofanevenrootmustbenon-negative.(3)Thebaseofalogarithmmustbegreaterthan1andnotequalto1.(4)Thebaseofanexponentialfunctioncannotbezero.2.Propertiesoffunctions:(1)Monotonicity:usethe"one,two,three,judge"method.(2)Parity:Determinewhetherthedomainofthefunctionissymmetricabouttheorigin,andthenexaminetherelationshipbetweenf(x)andf(-x):f(-x)=f(x)evenfunction;f(-x)=-f(x)oddfunction;f(-x)≠±f(x)neitherevennorodd.Graphcharacteristics:evenfunctionissymmetricaboutthey-axis,oddfunctionissymmetricabouttheorigin.II.LinearFunctions1.y=kx+b(k≠0)Whenb=0,y=kxisaproportionalfunctionandanoddfunction,anditsgraphisastraightlinepassingthroughtheorigin.2.Monotonicityoflinearfunctions.III.QuadraticFunctions1.Generalform:y=ax^2+bx+c2.Analyticexpression:Vertexform:y=a(x-h)^2+kTwo-pointform:y=a(x-x1)(x-x2)3.Graphandpropertiesofquadraticfunctionsy=ax^2+bx+c(a≠0).顶点坐标、对称轴、单调性、最大值与最小值、奇偶性以及开口大小等是描述二次函数的重要特征。对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，顶点的坐标为（-b/2a，c-b²/4a），对称轴为x=-b/2a。当a>0时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当a<0时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。最大值或最小值出现在顶点处。若a为偶数，则函数为偶函数，对称轴为y轴；若a为奇数，则函数为奇函数，对称中心为原点。开口大小与a的绝对值大小有关，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。在指数函数和对数函数中，有理指数、零指数幂、负整指数幂、分数指数幂、实数指数幂等都是重要的概念。对于指数函数y=a^x，其中a>0且a≠1，函数的定义域为R，值域为(0,∞)，过点（0,1），在R上是增函数，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1。对数函数y=loga(x)中，底数a>0且a≠1，定义域为(0,∞)，值域为R，过点（1，0），在(0,1)上是减函数，在(1,∞)上是增函数。常用对数和自然对数分别为以10和e为底的对数。对数的换底公式、积、商、幂的对数等也是重要的概念。在三角函数中，正弦函数、余弦函数、正切函数等都是重要的概念。它们的周期、对称中心、单调性、最大值与最小值等特征也都是需要掌握的知识点。1.三角函数的有关概念1.所有与角a终边相同的角表示为a。2.象限角：a为第一象限角，a=kπ/2，k∈Z；a为第二象限角，a=π/2+kπ，k∈Z；a为第三象限角，a=π+kπ/2，k∈Z；a为第四象限角，a=3π/2+kπ，k∈Z。3.任意角三角函数定义：已知角a终边上任意一点P的坐标（x，y），（r=√(x^2+y^2)），则sina=y/r，cosa=x/r，tana=y/x。4.特殊角的三角函数值表：角度0°30°45°60°90°sin01/21/√2√3/21cos1√3/21/√21/20tan01/√31√3不存在二、同角的三角函数关系式平方关系式：sin^2a+cos^2a=1。三、诱导公式sin(a±b)=sina*cosb±cosa*sinb，cos(a±b)=cosa*cosb∓sina*sinb。四、两角和与差的三角函数sin(a±b)=sina*cosb±cosa*sinb，cos(a±b)=cosa*cosb∓sina*sinb，tan(a±b)=(tana±tanb)/(1∓tana*tanb)。五、二倍角公式sin2a=2sina*cosa，cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a，tan2a=(2tana)/(1-tana^2)。六、正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2R，其中R为外接圆半径。七、余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosa，b^2=a^2+c^2-2accosb，c^2=a^2+b^2-2abcosc。八、三角形面积公式S=1/2*absinC=1/2*bcsinA=1/2*acsinB。九、三角函数性质函数定义域值域周期奇偶性单调性最值图像sinx(-π/2,π/2)[-1,1]2π奇函数在(0,π/2)上是增函数当x=π/2+2kπ时取最大值1，当x=-π/2+2kπ时取最小值-1从(0,0)开始，先增后减，过原点cosx[0,π][-1,1]2π偶函数在(0,π)上是减函数当x=2kπ时取最大值1，当x=π+2kπ时取最小值-1从(π/2,1)开始，先减后增，过(π,0)tanx(-π/2,π/2)(-∞,∞)π奇函数在(0,π/2)上是增函数无最值从(0,0)开始，单调递增，过(π/2,∞)十、等差数列等比数列名称定义等差数列从第二项起，每一项与前一项的差相等等比数列从第二项起，每一项与前一项的比相等通项公式：-等差数列：an=a1+(n-1)d-等比数列：an=a1*q^(n-1)(q≠0)前n项和公式：-等差数列：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2-等比数列：当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；当q=1时，Sn=na1。如果a、A、b三个数成等差数列，则A为a、b的中项，即A=(a+b)/2。应用范围：-已知两角与一边（余弦定理）-已知两边及其中一边的对角（正弦定理，余弦定理））,b=(b1,b2)，则①a与b垂直的条件是a·b=0②a与b平行的条件是存在实数k，使得a=k·b或b=k·a（九）向量的投影设a和b是非零向量，且θ是a和b的夹角，则a在b上的投影为projba=|a|cosθ·u其中u是b的单位向量，即u=b/|b|（十）向量的模长和单位向量向量a的模长为|a|=√(a1^2+a2^2)单位向量u是指模长为1的向量，即u=a/|a|改写：如果a、G、b三个数成等比数列，则等比中项公式为G=ab/(a+b)/2。定义法：a(n+1)-an=d（常数）。中项法：an+1+an-1=2an（n≥2）。定义法：an+1=q（常数）。2中项法：an+1an-1=an（n≥2）。性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；若m+n=p+q，则am/an=ap/aq。本章介绍了平面向量的相关概念。向量是既有大小又有方向的量，大小由有向线段的长度确定，方向由有向线段的方向确定。零向量是长度为0的向量，没有确定的方向，记作0。向量的加法和减法满足交换律、结合律和存在加法逆元素的性质。向量的数量积和数乘满足分配律、结合律和存在单位元素的性质。向量的内积是两个向量夹角的余弦值乘以它们的模长的乘积。平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘和内积。两个向量垂直的条件是它们的内积为0，平行的条件是它们成比例。向量在另一个向量上的投影是它在该向量方向上的长度。向量的模长是向量的长度，单位向量是模长为1的向量。一般来说，我们需要将向量的几何概念转化为代数式子，这样才能更好地进行计算和分析。对于向量的平行和垂直关系，我们有以下条件：1.向量平行的条件：向量a与向量b平行，当且仅当a=λb，其中λ为实数。2.向量垂直的条件：向量a与向量b垂直，当且仅当a·b=0，其中·代表向量的点积。在解析几何中，直线是一个非常重要的概念。我们可以通过斜率、截距等方式来描述直线，其中斜率k是一个非常关键的指标。斜率的计算公式为k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)，其中α为直线与x轴正向的夹角。直线的方向向量和法向量也是非常重要的概念。方向向量是平行于直线的向量，可以用(1,k)或(B,-A)表示；而法向量是垂直于直线的向量，可以用(A,B)表示。直线方程的形式有很多种，包括斜截式、点斜式、一般式等。每种形式都有其适用的场景和特点。此外，我们还需要了解两条直线的位置关系，包括平行、重合、相交、垂直等。对于点到直线的距离公式，我们可以通过代数式子计算得出。对于两个平行线之间的距离，我们可以通过两个线的截距之差除以斜率的平方来计算。最后，圆的标准方程也是解析几何中一个非常重要的概念。圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。通过这个方程，我们可以计算圆上任意一点的坐标。圆的一般方程圆的一般方程可以表示为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。圆与直线的位置关系可以分为三种情况：1.相切：圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r。2.相交：圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d<r。3.相离：圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d>r。过圆x+y=r上点(x,y)的切线方程为：x²+y²=r²，对其求导可得：2x+2y*y'=0，即y'=-x/y，带入点(x,y)可得该点处的切线方程为：xy-xr-yr+r²=0。圆中弦长的求法有两种：1.l=2√(r²-d²)，其中d是圆心到弦所在直线的距离。2.l=(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]，其中k为弦所在直线的斜率，(x1,y1)和(x2,y2)为弦的两个端点坐标。椭圆的标准方程及性质椭圆的标准方程为：(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。椭圆关于x轴和y轴成轴对称，关于原点成中心对称。椭圆的顶点坐标为(A1(-a,0),A2(a,0))，焦点坐标为(F1(-c,0),F2(c,0))，其中c=√(a²-b²)为焦距。椭圆的离心率为e=c/a，满足0<e<1。双曲线的标准方程及性质双曲线的标准方程为：(x²/a²)-(y²/b²)=1，其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴。双曲线关于x轴和y轴成轴对称。双曲线的顶点坐标为(A1(0,-a),A2(0,a))，焦点坐标为(F1(0,-c),F2(0,c))，其中c=√(a²+b²)为焦距。双曲线的离心率为e=c/a，满足e>1。抛物线的标准方程及性质抛物线的标准方程为：y²=2px，其中p为焦距。抛物线关于y轴对称。抛物线的顶点坐标为(0,0)，焦点坐标为(F(p,0))。抛物线的准线方程为x=-p。直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系可以分为以下几种情况：1.线在面外，线面平行。2.线在面内，线面平行。3.线面相交。4.线垂直于面。线面平行可以用线面平行或面面平行来证明，线线平行可以用线面垂直来证明，线线垂直可以用线面垂直来证明，面面平行可以用线线平行或线面平行来证明，面面垂直可以用线面垂直来证明。空间角空间角是由两条射线在空间中所夹的角度，可以用向量的点积公式来计算。空间角的大小范围为0到π。本文介绍了名称异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面一平面所成的角等图形的相关概念和计算方法。首先，我们需要平移这些图形，使它们相交，然后找到它们