湖南省永州市牛角圩学校2022年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省永州市牛角圩学校2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若是等差数列的前项和，且，则的值为（

）A．12 B．18 C．22 D．44参考答案：C考点：1、等差数列性质；2、等差数列求和公式.2.设为虚数单位，则复数=(

)

参考答案：依题意：略3.若tan（θ+）=﹣3，则=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：D【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】由条件利用两角和差的正切公式求得tanθ，再利用二倍角的余弦、正弦公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tan（θ+）==﹣3，∴tanθ=2，则==tanθ=2，故选：D．4.若曲线在点(0,b)处的切线方程是，则(

)

A.a=－1,b=1

B.a=1,b=1

C.a=1,b=－1

D.a=－1,b=－1参考答案：B略5.若，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据诱导公式及角之间的关系，，，可利用余弦的二倍角公式求解.【详解】因为，又，所以，故选B.6.已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|｝，则M∩N＝（

）A．

B．｛x|0＜x＜3

C．｛x|1＜x＜3

D．｛x|2＜x＜3参考答案：D略7.我国古代名著《庄子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完,现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是A.

B.

C.

D.参考答案：A8.直线与直线互相垂直，则a的值为（

）A．-2

B．-1

C．1

D．2参考答案：C9.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生一次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是

(A)[0.4,1)

（B）(0,0.6]

（C）(0,0.4]

(D)[0.6,1)参考答案：C10.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝(

)

A.－12

B.

－2

C.

0

D.4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量在向量上的投影为

.参考答案：12.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是

．参考答案：13.已知数列，若点在直线上，则数列的前11项和=

参考答案：3314.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数，给出下列函数：①；②；③；④．其中为恒均变函数的序号是__________．（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：①②解：①，，．符合要求．②，，．符合要求．③，，．不符合要求．④，．不符合要求．综上所述，符合要求有①②．15.设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1a2=35，a1a3=45，则S10=．参考答案：140【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d＞0，∵a1a2=35，a1a3=45，∴a1（a1+d）=35，a1（a1+2d）=45，解得a1=5，d=2．则S10=10×5+=140．故答案为：140．16.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为

。参考答案：【知识点】极坐标

参数方程

N3由圆的参数方程可得普通方程为：圆心为半径为，直线l的方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.故答案为.【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再利用弦长（d为圆心到直线的距离）即可求出．17.数列中，若，（），则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4．（I）求证：PD∥面ACE；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积。参考答案：（I）证明：（Ⅱ）∴

略19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得4cos2C﹣4cosC+1=0，可求，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值．（2）由余弦定理可得7=（a+b）2﹣3ab，结合条件a+b=5，可求ab的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，由，得，∴，整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，解得：，由于：0＜C＜π，可得：C=．（2）∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：7=a2+b2﹣ab，∴7=（a+b）2﹣3ab，∵由条件a+b=5，∴可得：7=25﹣3ab，解得：ab=6，∴．20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.（1）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580,760]内的概率.参考答案：(1)(2)①698.8元②0.54【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：化简得：（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：（元）②由于时，显然在区间上单调递增，，得；，得；日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）作FM∥CD交PC于M，连接ME．证明AF∥EM，然后证明直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）连接ED，证明AB⊥平面PEF．求出三角形PEF的面积，利用VP﹣BEF=VB﹣PEF求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME．

…∵点F为PD的中点，∴，又，∴，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，…∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，…∴直线AF∥平面PEC．

…（Ⅱ）连接ED，在△ADE中，AD=1，，∠DAE=60°，∴ED2=AD2+AE2﹣2AD×AE×cos60°=，∴，∴AE2+ED2=AD2，∴ED⊥AB．

…PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，…PD∩ED=D，PD?平面PEF，ED?平面PEF，…∴AB⊥平面PEF．

…，…∴三棱锥P﹣BEF的体积：VP﹣BEF=VB﹣PEF

…=…==．

…22.某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）利用数据统计图求出该班有40人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数．（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.