浙江省杭州市文元中学高三数学理模拟试题含解析

浙江省杭州市文元中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（） A．8π B． 12π C． 16π D． 48π参考答案：B2.已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是(

) A．3π B．2π C．π D．参考答案：A考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得?=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答： 解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且?=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．3.已知，若对任意，存在，则实数的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：

B4.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+ B．6+ C．12+2π D．6+4π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．【解答】解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．5.已知等比数列的首项公比，则(

)A.50

B.35

C.55

D.46参考答案：C6.设为随机变量，若,当时，的值为（

）3

5

7

9参考答案：D7.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是()A．(2，＋∞)

B．[2，＋∞)C．(3，＋∞)

D．[3，＋∞)参考答案：B8.已知sin（）=则cos（x）等于(

) A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：D考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后即可求值．解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．9.设集合A={x|（x﹣3）（1﹣x）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（）A．（3，+∞） B．[，3） C．（1，） D．（，3）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=lg（2x﹣3），得到2x﹣3＞0，解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的最大值为

.参考答案：12.函数的定义域为-------------------

。参考答案：13.已知函数,有下列五个命题①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;②若,函数的极小值是,极大值是;③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得(其中点是坐标原点)⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是

(填上你认为正确的所有命题的序号)参考答案：①③⑤

略14.函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣），x∈（，）的值域是．参考答案：（，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin2x，x∈（，）?2x∈（，），利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=﹣=（sin2x+sin2x）=sin2x，∵x∈（，），∴2x∈（，），∴＜sin2x≤1，即当x∈（，）时，函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）的值域是（，1]．故答案为：（，1]．15.已知全集，集合，则=

参考答案：略16.设奇函数，满足对任意都有，且时，，则的值等于_____________.参考答案：

略17.已知向量是单位向量，向量，若，则,的夹角为__________.参考答案：【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】设所以，

根据题意有：，解得：

当时，

因为所以，的夹角为：。

故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线y2＝16x的焦点为其中一个焦点,以双曲线－＝1的焦点为顶点．(1)求椭圆的标准方程；

(2)若E、F是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，则当直线PE、PF的斜率都存在，并记为kPE、kPF时，kPE·kPF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是,请说明理由．参考答案：(1)由抛物线y2＝16x的焦点为(4,0)可得c＝4．可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵双曲线－＝1的焦点为(±5,0)．∴由题意知a＝5,b2＝a2－b2＝25－16＝9．故椭圆标准方程为＋＝1．(2)kPE·kPF为定值,该定值为－．理由：E,F是椭圆上关于原点对称的两点．设E(m,n),则F(－m,－n),又设P点坐标为(x,y)．则＋＝1,＋＝1．两式相减可得＋＝0,即＝－．(由题意知x2－m2≠0)．又kPE＝,kPF＝,则kPE·kPF＝＝－．∴kPE·kPF为定值,且为－．19.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）如图所示，四棱锥中，底面是个边长为的正方形，侧棱底面，且，是的中点.（I）证明：平面；（II）求三棱锥的体积.参考答案：（I）证明：连结,交于因为底面为正方形,所以为的中点.又因为是的中点,所,因为平面,平面,所以平面（II）．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．参考答案：（1）证明：连结AC．不妨设AD=1．因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2．因为∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°．在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2．所以BC⊥AC．

…（3分）因为PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC．

…（5分）因为PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．

…（7分）（2）解：如图，因为AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，所以AB∥平面CDMN．

…（9分）因为AB?平面PAB，平面PAB∩平面CDMN=MN，所以AB∥MN．

…（12分）在△PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值为．

…（14分）考点：直线与平面垂直的判定；余弦定理．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC，证明BC⊥AC，BC⊥PC，利用线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；（2）证明AB∥MN，利用M为线段PA的中点，可得N为线段PB的中点，即可得出结论．解答：（1）证明：连结AC．不妨设AD=1．因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2．因为∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°．在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2．所以BC⊥AC．

…（3分）因为PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC．

…（5分）因为PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．

…（7分）（2）解：如图，因为AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，所以AB∥平面CDMN．

…（9分）因为AB?平面PAB，平面PAB∩平面CDMN=MN，所以AB∥MN．

…（12分）在△PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值为．

…（14分）点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键21.设集合。(1)若a＝3，求A∪B；(2)设命题p：xA；命题q：xB。若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围。参考答案：22.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.参考答案：（1）平均数为36，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元.【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每