上海市第六中学2022年高三数学理月考试题含解析

上海市第六中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2.若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为(

)A． B．1

C． D．5参考答案：C3.设关于的不等式组，且使取得最大值为2，则实数的值为（）A．

B．

C．

D．

参考答案：D4.若向量a与b的夹角为120，且,c=a+b，则有

A．cb

Bca

c．c//b

D.c∥a参考答案：B略5.已知向量(ex，e－x)，=(2，a)，函数f(x)=·是奇函数，则实数a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．﹣2参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积和奇函数的定义即可求出．【解答】解：f（x）==2ex+ae﹣x，∵f（x）为奇函数，且定义域为R，∴f（0）=0，即2+a=0，解得a=﹣2，故选：D6.数列{an}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，Sn有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．7.设全集R，集合，，则（

)A.

B.

C.

D.参考答案：B8.函数f（x）=的大数图象为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．参考答案：D10.在（为原点）中，（，），（，），若·＝－5，则的面积=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由已知得，，因为·＝－5，所以，，，从而的面积=，故选择D。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

▲

.参考答案：1

14.

15.

16.12.已知sinα=，且α为钝角，则cos=．参考答案：．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是钝角，可得的范围，由此可得cos的符号为正，即可得答案．【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜＜90°，∴cosα＜0，cos＞0，∴cosα=﹣=﹣，∴cos===．故答案为：．13.已知，则的展开式中的常数项是__________．参考答案：16014.已知数列{an}是以t为首项，以2为公差的等差数列，数列{bn}满足，若对都有成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：

15.一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为

.参考答案：16.已知函数，任取，定义集合:，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则

(1)若函数，则=______;（2）若函数，则的最小正周期为______.参考答案：略17.在四边形ABCD中，，点E在线段CB的延长线上，且，则

.参考答案：－1建立如图所示的直角坐标系，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设是公差大于零的等差数列，已知，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.参考答案：

19.某市疾控中心流感监测结果显示，自2019年1月起，该市流感活动一度d现上升趋势，尤其是3月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复。假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染。下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取3个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳。参考答案：（1）；（2）方案乙更佳分析：（1）分别求出时的值，及时的值，进而可求出方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数的概率；（2）确定的可能取值及相应的数学期望，比较二者大小可知方案乙更佳.详解：（1）设分别表示依方案甲需化验为第次；表示依方案乙需化验为第次；表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．，（2）的可能取值为．的可能取值为．（次），∴（次），∴故方案乙更佳．点睛：求解离散型随机变量数学期望的一般步骤：（1）确定各随机变量的可能取值；（2）求出随机变量各取值下的概率；（3）计算数学期望.20.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60，且a6为a1和a21的等比数列.（I）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（II）若数列{bn}满足bn+1－bn=an（n∈N*），且b1=3，求数列{}的前n项和Tn.参考答案：解析：（I）设等差数列的公差为，则：

，解得，∴an=2n+3；Sn==n(n+4).（II）由bn+1－bn=an，∴bn－bn－1=an－1（n≥2且n∈N*）.当n≥2时，bn=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)+b1.

=an－1+an－2+…+a1+b1=(n－1)(n－1+4)+3=n(n+2).由于b1=3也满足bn=n(n+2)（n≥2），∴bn=n(n+2)（n∈N*），∴==.∴Tn=

=(1+－－)=.21.已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2

+a3=6，求该数列前10项的和S10参考答案：略22.如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（Ⅲ）存在，G为劣弧的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD为正三角形，又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO…∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．

…又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．

…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE为三棱锥D﹣BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．

…∵，∴==．

…（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．

…证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD