解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)

解三角形全国高考题汇总一、全国1卷（2019年）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC（1）求A；（2）若2a+b=2c，求sinC。【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b²+c²-a²=bc，从而可整理出cosA，根据A∈(0,π)可求得结果；（2）利用正弦定理可得2sinA+sinB=2sinC，利用sinB=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果。【详解】（1）将(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC化简可得：sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC由正弦定理可得：b²+c²-a²=bc∴cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)因为A∈(0,π)，所以A=cos⁻¹[(b²+c²-a²)/(2bc)]（2）方法一：由正弦定理可得：2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入上式可得：2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得：3sinC-2sinA=cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A)，代入上式可得：3sinC-2sinA=±cosC√(1-sin²A)整理可得：sinC=(3±2√2)sinA/(2±√2)因为sinA∈(0,1)，所以sinC>(3-2√2)/(2+√2)=1.082，sinC<(3+2√2)/(2-√2)=1.414所以sinC=1.25方法二：由正弦定理可得：2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入上式可得：2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得：3sinC-6=3cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A)，代入上式可得：3sinC-6=±3cosCsinA√(1-sin²A)整理可得：(sinC-2)²=3-sin²C解得：sinC=1.25二、2018全国新课标Ⅰ理在平面四边形ABCD中，∠ADC=90，∠A=45，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=22，求BC.（1）由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB·ADcos∠ADB代入已知条件可得：25=4+AD²-4ADcos∠ADB整理可得：cos∠ADB=(AD²-21)/4AD（2）由勾股定理可得：AD=AB√2=2√2由正弦定理可得：DC/√2=sin∠ADC=sin(∠ADB+∠ABC)=sin∠ADB·cos∠ABC+cos∠ADB·sin∠ABC代入已知条件可得：22/√2=sin∠ADB·(√2/2)+cos∠ADB·(5/2)整理可得：√2sin∠ADB+5cos∠ADB=44/√2将cos∠ADB代入上式可得：√2sin∠ADB+(25-AD²)/2AD=44/√2代入已知条件可得：√2sin∠ADB+(25-8)/4=44/√2解得：sin∠ADB=3/2√2由正弦定理可得：BC/√2=sin∠ABC/sin∠ADB代入已知条件可得：BC/√2=2/(3√2)解得：BC=2/3在三角形ABD中，根据正弦定理得：$$\frac{522}{\sin\angleADB}=\frac{523}{\sin45^{\circ}\sin\angleADB}$$化简得：$$\sin\angleADB=\frac{523}{522\sqrt{2}}$$又因为$\angleADB<90^{\circ}$，所以根据余弦定理得：$$\cos\angleADB=1-\sin^2\angleADB=\frac{1}{2}$$在三角形ABD和BDC中，根据余弦定理和正弦定理得：$$\cos\angleBDC=\cos(-\angleADB)=\sin\angleADB$$$$\cos\angleBDC=\frac{DC^2+BD^2-BC^2}{2\cdotBD\cdotDC}=\frac{28+25-BC^2}{2\cdot5\cdot2\sqrt{2}}$$化简得：$$BC=5$$在三角形ABC中，根据正弦定理和面积公式得：$$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2S$$所以：$$\sinB\sinC=\frac{bc}{a}\cdot\sinB\sinC=\frac{2S}{a}\cdot\sinB\sinC$$又因为$S=\frac{1}{2}bc\sinA$，所以：$$\sinB\sinC=\frac{a\sinA}{2bc}=\frac{a}{2c}$$在三角形ABC中，根据余弦定理和面积公式得：$$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=4c^2-4S^2/c^2$$所以：$$\cosA=\frac{4c^4-4S^2}{4c^3}=\frac{c^2-S^2}{2c^2}$$又因为$\sinA=\frac{2S}{bc}$，所以：$$\sinA=\frac{2S}{bc}=\frac{2S}{2c\sinC}=\frac{S}{c\sinC}=\frac{a\sinA}{c}$$代入$\cosA$的式子中得：$$\cosA=\frac{c^2-S^2}{2c^2}=\frac{a^2-b^2}{2ac}=\frac{a\sinA}{c}$$所以：$$\sinB\sinC=\frac{a}{2c}=\frac{\sinA}{2\cosA}$$又因为$6\cosB\cosC=\frac{3bc}{a^2}=\frac{3}{2S}\cdotbc=\frac{3}{S}\cdot\frac{1}{2}bc=\frac{3}{S}\cdotS\sinA=\frac{3}{\sinA}$，所以：$$\sinB\sinC=\frac{1}{6\cosB\cosC}=\frac{\sinA}{18}$$代入第一个式子中得：$$\frac{a}{\sinA}=\frac{2c\sinB\sinC}{\sinA}=\frac{c}{9}$$又因为$S=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}bc\sinC=\frac{1}{2}ab\sinA$，所以：$$c=2S/a=4$$代入上式中得：$$a=36$$所以：$$\sinB\sinC=\frac{a}{2c}=\frac{9}{4}$$$$\cosB\cosC=\frac{1}{6\sinB\sinC}=\frac{2}{27}$$根据余弦定理和面积公式得：$$b^2=c^2+a^2-2ac\cosB=4a^2-4S^2/a=128$$$$\cosB=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3}{4}$$$$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$$$\sinC=\frac{a\sinA}{b}=\frac{6}{7\sqrt{7}}$$所以：$$\cosC=\sqrt{1-\sin^2C}=\frac{5\sqrt{3}}{7\sqrt{7}}$$$$\tanA=\frac{\sinA}{\cosA}=\frac{a\sinA}{c^2-S^2}=\frac{36\cdot6/7\sqrt{7}}{16-36^2/4}=24\sqrt{7}$$$$\tanB=\frac{\sinB}{\cosB}=\frac{\sqrt{7}/4}{3/4}=\frac{\sqrt{7}}{3}$$$$\tanC=\frac{\sinC}{\cosC}=\frac{6/7\sqrt{7}}{5\sqrt{3}/7\sqrt{7}}=\frac{6}{5\sqrt{3}}$$所以：$$\tanA+\tanB+\tanC=24\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{6}{5\sqrt{3}}$$$$=24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{7}}{15}+\frac{6\sqrt{3}}{15}$$$$=24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{21}+2\sqrt{3}}{15}$$在三角形ABC中，根据余弦定理和面积公式得：$$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+(a+1)^2-4^2}{2a(a+1)}$$化简得：$$2a^3+3a^2-2a-15=0$$因为$a>0$，所以：$$a=\frac{\sqrt{93}-3}{4}$$代入面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinC$中得：$$S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{93}-3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{93}-3}{40}$$根据正弦定理得：$$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=\frac{5\sqrt{93}-15}{8}$$所以：$$b=\frac{a\sinB}{\sinA}=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{c\sinB}{\sinC}=\frac{c\sinA}{\sinC}=\frac{a\sinA}{\sinB}=\frac{ac}{b}=\frac{a^2}{b}=\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}$$所以：$$a+b+c=\frac{\sqrt{93}-3}{4}+\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}+4=\frac{8\sqrt{93}+12}{5\sqrt{93}-15}$$2015年17题：在三角形ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，且∆ABD的面积是∆ADC的2倍。（Ⅰ）求BD和AC的长度。（Ⅱ）若AD=1，DC=？解析：（Ⅰ）设BD=x，AD=y，则AC=x+y。由面积比得：$\frac{1}{2}AB\cdoty=AB\cdot\frac{1}{2}DC\cdot(x+y-DC)$即：$y=DC\cdot(\frac{x+y}{x+DC})$又由角平分线定理得：$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，即$\frac{x+y}{x}=\frac{x+y+DC}{DC}$解得：$x=2y$，$AC=3y$，$BD=2y$。（Ⅱ）代入得：$y=\frac{1}{3}$，$DC=\frac{2}{3}$。答案：$BD=2y=\frac{2}{3}$，$AC=3y=1$，$DC=\frac{2}{3}$。2013年17题：在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB。（Ⅰ）求角B。（Ⅱ）若b=2，求三角形ABC的面积的最大值。解析：（Ⅰ）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$代入得：$b=2\frac{cosC+sinB}{sinC}$即：$b=2\frac{cosC+sinB}{\sqrt{1-sin^2B}}$整理得：$sinB=\frac{2cosC}{\sqrt{4+3cos^2C}}$由余弦定理得：$cos^2B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$代入得：$cos^2B=\frac{c^2-2bcosC+a^2}{2ac}$整理得：$cos^2B=\frac{4cos^2C-3}{4+3cos^2C}$解得：$cosB=\pm\sqrt{\frac{4cos^2C-3}{4+3cos^2C}}$又因为B为锐角，所以$cosB=\sqrt{\frac{4cos^2C-3}{4+3cos^2C}}$代入得：$sinB=\frac{2cosC}{\sqrt{4+3cos^2C}}$，$cosB=\sqrt{\frac{4cos^2C-3}{4+3cos^2C}}$（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$代入得：$sinB=\frac{2cosC}{\sqrt{4+3cos^2C}}$设$f(C)=\frac{1}{2}ab\cdotsinC=\frac{1}{2}ab\cdot\sqrt{1-cos^2C}$则$f(C)=\frac{1}{2}ab\cdot\sqrt{\frac{3cos^2C+4}{4+3cos^2C}}$求导得：$f'(C)=\frac{abc^2}{8(1+cos^2C)^{\frac{3}{2}}}$令$f'(C)=0$，解得$cosC=0$或$cosC=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$代入得：$f(C)=\begin{cases}ab,&cosC=0\\\frac{\sqrt{3}}{4}ab,&cosC=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{4}ab,&cosC=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}$所以三角形ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$。答案：（Ⅰ）$sinB=\frac{2cosC}{\sqrt{4+3cos^2C}}$，$cosB=\sqrt{\frac{4cos^2C-3}{4+3cos^2C}}$；（Ⅱ）$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$。2012年17题：已知a、b、c分别为三角形ABC三个内角A、B、C的对边，（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=2，三角形ABC的面积为1，求b、c。解析：（Ⅰ）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$代入得：$a=2\frac{sinA}{sinB+sinC}$即：$a=2\frac{sinA}{sin(180^{\circ}-A)}$整理得：$a=2\frac{sinA}{sinA}$解得：$A=90^{\circ}$（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$代入得：$b=\frac{a\cdotsinB}{sinA}$，$c=\frac{a\cdotsinC}{sinA}$又由海伦公式得：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$其中$p=\frac{a+b+c}{2}$代入得：$1=\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(2-b)(2-c)}$整理得：$bc-2b-2c+3=0$解得：$b=1$，$c=2$。答案：（Ⅰ）$A=90^{\circ}$；（Ⅱ）$b=1$，$c=2$。已知在三角形ABC中，角A、B、