《概率统计》作业题参考答案

《概率统计》作业题答案cy091017王少玲某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取3个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品不合格．假定每批产品中的次品最多不超过2个，且其中恰有i（i=0，1，2）个次品的概率如下：一批产品中的次品数012概率0.30.40.3求（1）一批产品能通过检查的概率；（2）在一批产品能通过检查的条件下，这批产品没有次品的概率．[解]（1）记A={产品能通过检查}，Bi={产品中有i个次品}(i=0,1,2)，则由全概率公式，得所求概率为（2）我们要求的概率是发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“·”。求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。[解]（1）记A={收报台收到信号“·”}，B={发报台发出信号“·”}，则由全概率公式，收报台收到信号“·”的概率为（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率是两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起。若第一台车床与第二台车床加工的零件数比例为5:4，求：（1）任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率；（2）任意从这些零件中取出一个，发现恰为合格品。试问它为第二台车床加工的可能性有多大？[解]=“

所取的零件由第i台机床加工”(i=1,2),B=“

取出的零件为合格品”;则

（1）由全概率公式，任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率是：（2）由贝叶斯（Bayes）公式知，所求概率为：用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料得到灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。又已知广州肝癌发病率为0.02%（1999年数据），即每一万广州人中有两人得肝癌。假设某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？[解]答案是令人惊讶的，他甚至应该保持谨慎乐观的态度。为什么呢？我们来求一下他真的患有肝癌的（条件）概率。令A={检验结果是阳性}，B={他真的患病}，则设连续随机变量X的概率密度为：，求：（1）常数；（2）X落在区间内的概率；（3）的概率密度。[解]（1）由概率密度的性质，有，故。（2）由概率计算公式知，所求概率为；（3）随机变量函数的分布函数为故的概率密度是设随机变量的分布函数为，。（1）求常数；(2)

求；（3）求概率密度。[解]（1）由及，得，解得；（2）；（3）随机变量的概率密度为。设二维连续随机变量的联合概率密度为求：（1）常数；（2）概率；（3）、的边缘概率密度；并判断与是否独立。[解]（1）由联合概率密度的性质，有，故。（2）由概率计算公式知，所求概率为；（3）、的边缘概率密度分别为显然，故与独立。设二维随机变量的联合概率密度为求（1）系数；（2）落在区域内的概率；（3）的边缘概率密度；并判断与是否独立。[解]（1）由联合概率密度的性质，有故；（2）落在区域内的概率为；（3）、的边缘概率密度分别为显然，故与独立。设随机变量与独立，求：（1）二维随机变量的联合概率密度；（2）概率。[解]（1）随机变量的密度为随机变量的密度为随机变量的联合概率密度为（2）概率。设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形计算取球次数的数学期望、方差与标准差.[解]设与分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，的概率分布表为：X1230.60.30.1从而相应的数学期望为又故，而Y的概率分布为：，，即从而，，设随机变量，求随机变量函数的数学期望与方差.[解]随机变量的密度为则函数的数学期望与方差分别为；设二维连续随机变量的联合概率密度为，试求与的协方差。[解]由随机变量函数的数学期望的计算公式即知同理可得。又故与的协方差为设随机变量，求：（1）；（2）；（3）确定，使得。[解]（1）（2）（3）由得，故设随机变量，求下列概率：（1）；（2）。[解]（1）（2）设随机变量，求随机变量函数的概率密度、数学期望与方差。[解]（1）先求的分布函数：。显然，当时，；而当时，故的概率密度为（2）故某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为10千瓦。由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求：（1）任一时刻有140至160台机器正在工作的概率；（2）需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95?[解]设事件A表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。设表示任一时刻正在工作的机器数，则.（1）由DeMoivre-Laplace中心极限定理知（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求即有，故，，取，即需要供应1610千瓦的电功率.设总体，抽取样本。求：（1）样本均值的数学期望与方差；（2）样本方差的数学期望。[解]因为，故。（1），；（2）。设总体。（1）抽取容量为36的样本，求样本均值在38与43之间的概率；（2）抽取样本容量n多大时，才能使概率？（3）抽取样本容量n多大时，才能使？[解]设样本容量为，则。（1）此时，，故所求概率为(2),，，，取（3），，，故取。设总体，其中。求未知参数的矩估计与最大似然估计，并说明它们是否为无偏估计。[解]因为，故，故有矩法方程：。解之得的矩估计是。设样本观测值为，则似然函数为故，有似然方程:，解之得的最大似然估计值是，最大似然估计也是。因为，所以参数的矩估计和最大似然估计都不是无偏估计。设和是的两个相互独立的无偏估计，且方差。（1）试证明：对任意常数，都是的无偏估计；（2）在所有这些无偏估计中，试求方差最小的无偏估计。[解]

（1）因为所以，对任意常数，都是的无偏估计。（2）故方差最小的无偏估计是。假设考生成绩服从正态分布。现随机抽取36人，算得平均成绩是66.5分，标准差为15分。试问在显著性水平=0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？[解]设考生成绩服从正态分布，依题意，要检验的假设是

因为未知，所以应选取统计量；在显著性水平下的拒绝域为。计算统计量t的观测值得：

。因为，所以在显著性水平下，没有充分理由拒绝原假设，即没有充分理由认为这次考试全体考生的平均成绩不是70分。已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。采用新技术后抽查16个，测得电子元件寿命的样本均值小时，样本标准差小时。设电子元件的寿命服从正态