广东省汕尾市龙津中学高二数学理联考试卷含解析

广东省汕尾市龙津中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在对一种新药进行药效评估时，调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，则（）A．该新药的有效率为80%B．该新药比常用药更有效C．该新药为无效药D．本试验需改进，故不能得出新药比常用药更有效的结论参考答案：A【考点】收集数据的方法．【分析】利用调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，可得结论．【解答】解：由题意，该新药的有效率为80%，故选A．2.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28参考答案：D【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．3.已知一组数据为且这组数的中位数是，那么数据中的众数是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D4.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.在数列则等于（

）A．

B．1

C．2

D．–1参考答案：A略6.已知椭圆的焦点为、，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于，则使得的点的横坐标的取值范围（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C7.数列满足，，且，记为数列的前n项和，则等于（ ）A.294 B.174 C.470 D.304参考答案：D由得,所以数列为等差数列，因此,因此,,选D.

8.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.两次都中靶C.两次都不中靶

D.只有一次中靶参考答案：C略9.已知一个线性回归方程为=1.5x+45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则=（）A．58.5 B．46.5 C．60 D．75参考答案：A【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的x的值，求出x的平均数，根据样本中心点在线性回归直线上，把所求的平均数代入线性回归方程，求出y的平均数．【解答】解：∵x∈{1，7，5，13，19}，∴==9，∴=1.5×9+45=58.5．故选：A．10.命题“，”的否定为（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：C全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第个等式为

。参考答案：略12.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0，1，2，…，9}．若|a﹣b|=1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型．试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a﹣b|=1的情况通过列举得到共18种情况，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，则|a﹣b|=1的情况有：0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共18种情况，甲乙出现的结果共有10×10=100，∴他们”心有灵犀”的概率为P=，故答案为：．13.设且,则的最小值为________.参考答案：16

略14.是虚数单位，则

.参考答案：i15.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ；参考答案：6.816.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则_

_。参考答案：略17.直线y=x+3与曲线﹣=1交点的个数为．参考答案：3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合．【分析】先对x进行分类讨论：≥0时，曲线方程为﹣=1，图形为双曲线在y轴的右半部分；当x＜0时，曲线方程为，图形为椭圆在y轴的左半部分；如图所示，再结合图形即可得出直线y=x+3与曲线﹣=1交点的个数．【解答】解：当x≥0时，曲线方程为﹣=1，图形为双曲线在y轴的右半部分；当x＜0时，曲线方程为，图形为椭圆在y轴的左半部分；如图所示，由图可知，直线y=x+3与曲线﹣=1交点的个数为3．故答案为3．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，题目中所给的曲线是部分双曲线的椭圆组成的图形，只要注意分类讨论就可以得出结论，本题是一个基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分8分）已知直线l过点(2,1)，且在y轴上的截距为－1．（I）求直线l的方程；（II）求直线l被圆所截得的弦长．参考答案：（本小题满分为8分）解：(Ⅰ)由题意可得直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．………………4分(Ⅱ)因为圆心(0,0)到l的距离，……………6分所以弦长为．

…………………8分

19.已知椭圆的离心率是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．参考答案：（）根据题意可知：，解得，，．∴所求椭圆的方程为．（）由，得，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即，①①当时，设弦的中点为，则：，，．又，∴，则有：，即，②将②代入①得，解得，由②得，解得．故所求的取值范围是．②当时，，∴，则，解得．综上所述，的取值范围是．20.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．21.如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：（1）BC⊥面SAB；（2）AF⊥SC．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知中SA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得BC⊥SA，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理，我们可得BC⊥面SAB；（2）由已知中过A作SB的垂线，垂足为E，结合（1）的结论，由线面垂直的判定定理可得AE⊥面SBC，进而AE⊥SC，再由已知中，过E作SC的垂线，垂足为F，由线面垂直的判定定理可得SC⊥面AEF，最后由线面垂直的性质得到AF⊥SC．【解答】证明：（1）∵SA⊥面ABC，且BC?面ABC，∴BC⊥SA，又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB．（2）∵AE⊥BC，AE⊥SB，且SB∩BC=B，∴AE⊥面SBC，∵SC?面SBC，故AE⊥SC．又∵AE⊥SC，EF⊥SC，且AE∩EF=E，∴SC⊥面AEF，∵AF?面AEF，故A