上海市仙霞高级中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

上海市仙霞高级中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知符号函数，则函数的零点个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：2.（本小题满分13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？参考答案：解：（1）当时，，当时，，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：……………6分（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0

当时，当且仅当时取等号所以当时，，此时

当时，由知函数在上递增，，此时综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润

若，则当日产量为万件时，可获得最大利润……………13分

略3.设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是(

)A．4

B．2

C．

D．参考答案：4.如果等差数列中，，那么（

）A.14

B.21

C.28

D.35参考答案：C5.在等比数列中，，，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知△ABC的面积为，A=，AB=5，则BC=（）A． B．C．D．参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求AC的值，进而利用余弦定理即可计算得解BC的值．【解答】解：∵，AB=5，△ABC的面积为=AB?AC?sinA=，∴解得：AC=4，∴BC===．故选：D．7.要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，把平移过程逆过来可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象向左至少平移个单位即可，故选：B．8.集合，，若，则r的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C依题：圆须与可行域有交集，由图可知：当动圆与直线相切时，最小，为；当动圆过时，最大，为.

【命题意图】此题背景来自教材，从集合角度定义线性约束条件，考查了线性规划最优解，

结合了直线与圆的位置关系，一种临界是相切，转化到线心距等于半径.另一种临界就是两

点间距离.数形结合思想解题策略.9.曲线在点处的切线为．若直线与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为

A.

B.

C.2

D.参考答案：【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值.

B11

E6A

解析：∵，∴即，可得A(,0)，B(0,)，∴△OAB的周长，当且仅当时等号成立.故选A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线的方程，从而求得A、B的坐标，进而用表示△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.

10.已知函数，则的大致图象是（

）参考答案：B,所以非奇非偶，排除A,C.,即过点，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为_______．参考答案：【分析】由解得，即可得函数的定义域.【详解】依题意，得：，等价于：，即，得，所以定义域：故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域，分式不等式的解法，属于基础题.12.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：易知第三行有白圈5个，黑圈4个．我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4）．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（xn，yn），则=

．参考答案：1【考点】归纳推理．【分析】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的“坐标”；再根据前五行的白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可归纳第n行的白圈数，黑圈数，即可得出结论．【解答】解：根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），第四行的白圈数为2×5+4=14；黑圈数为5+2×4=13，∴第四行的“坐标”为（14，13）；第五行的“坐标”为（41，40），各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，∴第n行的白圈数为，黑圈数为为﹣1=，∴==1故答案为：1．13.知幂函数的定义域为，且单调递减，则__________.参考答案：1略14.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于____________。参考答案：略15.已知，若，则

。参考答案：-216.已知sinα＝，α∈，tanβ＝，则tan(α＋β)________．参考答案：1略17.过点（1，0）且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是．参考答案：12x+5y﹣12=0．略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)设x1，x2∈R，规定运算“*”：x1*x2=(x1＋x2)2＋(x1－x2)2．(1)若x≥0，a＞0，求动点的轨迹C；(2)设P(x，y)是平面上任一点，定义．问在(1)中的轨迹C上是否存在两点，使之满足，若存在，求出a的范围．参考答案：19.已知函数.（Ⅰ）求的值域；（Ⅱ）设的角的对边分别为，且求的最大值参考答案：解：（Ⅰ）

……（2分），

……………（4分）故的值域为．

…………………（７分）（Ⅱ）由得，又，故

．

…………………（9分）由余弦定理得，

………………（10分）

，………………（14分）

20.（12分）（2015?梅州二模）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x＞1时，f（x）＞g（x）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），证明函数F（x）在[1，+∞）上是增函数，即可证得结论．【解答】（1）解：求导函数，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）=0，解得x=1由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1∴函数在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数∴函数在x=1时取得极大值f（1）=；（2）证明：由题意，g（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）ex﹣2，令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2，∴F′（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x，当x＞1时，2x﹣2＞0，∴e2x﹣2﹣1＞0，∵e﹣x，＞0，∴F′（x）＞0，∴函数F（x）在[1，+∞）上是增函数∵F（1）=0，∴x＞1时，F（x）＞F（1）=0∴当x＞1时，f（x）＞g（x）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，构造函数，确定函数的单调性是关键．21.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．w.w.w.k.s.5.u.c.参考答案：解：（1）依题可设()，则；

又的图像与直线平行

，，

设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，

解得当时，

解得（2）由()，得

当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,

,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.略22.（12分）（2014?天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题： 导数的综合应用．分析： （Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类讨论，然后利用导数求出函数的单调性；（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设g（a）=4a3﹣12a+8，求出g（a）在[]内是减函数，问题得以解决．解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），令f'（x）=0，则x1=0，x2=2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，2a）2a（2a，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，2a）2a（2a，0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．（Ⅱ）由及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又f（2）﹣