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第六章二次型与正定矩阵§6.1二次型的定义和矩阵表示定义1含有n个变量x1,x2,…,x的二次齐次函数f(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…++2n12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn称为二次型当a是复数时,称为复二次型当an是实数时,称为实二次型1.用和号表示对二次型19299na11十a2x十…+a112+2a12x1x2+2a13x12143+∴+2a取j一j则2aixixi=aixixjtajxri于是∫=a1x1+a12x1x2+…+a1nx1n+a21x2x1+a22x2+…+an1xnx1+an2xnx2+…+amnx2aixia1x1+a1x2+…+a1tna21x1+a2x2+…+a2n=(x15x2…5xanx1+an2x2+……+amn12e1,r2am八xaL12x1x记A221r则二次型可记作f=XAX,其中A为对称矩阵.在矩阵表示XAX中由于n=a;,所以A=A。另外,若A,B为阶对称矩阵,且192x=XAX=XBX必有A=B例611写出二次型∫=x2+2x2-3x3+4x1x2-6的矩阵.解12=a21=2,a13=a31=0,A=22-30-3-3也可以做以下表示x1,x2,x3=(x1,X2yx3f(x1,x2,x3)对应的矩阵为12A=22-30-3-3§6.2二次型的标准形定义6.2.1只含变量的平方项,不含交叉项,即形如b1y1+b2y2+…+bnyn的二次型,称为二次型的标准形。下面要论如何

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