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文档简介
§3.1力系的平衡方程和应用1平衡方程由第二章知,力系向一点简化可以得到一力和一力偶,分别等于力系主矢和对该点的主矩。主矢和主矩同时为零是力系平衡的充分和必要条件,即,
将矢量式(3.1.1)向互不平行且不在同一平面上的三个坐标轴x,y,z投影,可以得到等价的标量方程组
(3.1.1)1
通常取坐标轴x,y,z互相垂直而成直角坐标系。方程(3.1.2)称为力系的平衡方程,是平衡方程的一般形式。习惯上,称式(3.1.2)中前三个方程为投影式,后三个方程为力矩式。作为上述平衡方程的应用,讨论几类特殊力系平衡方程的形式。(3.1.2)2(1)平面力系图3.1二矩式失效:AB连线与(1)平面力系
图3.1二矩式失效:AB连线与若力系中各力的作用线在同一平面内,该力系称为平面力系。不失一般性,设xy平面为力系所在平面,此时力系中各力在z轴上的投影恒零,且对x和y轴的力矩也为零。因此,方程(3.1.2)中第三、四和五方程自然成立,不论该力系是否平衡。式(3.1.2)中对轴的
力矩可以理解为是对z
轴与此时,方程(3.1.2)xy平面交点,即xy平面上任意一点A的力矩。退化为(3.1.3)式(3.1.3)为平面力系的平衡方程。xyz
F
A(3.1.2)3除式(3.1.3)外,平面力系还存在不同形式的平衡方程。平面力系向一点简化的结果是一力和一力偶,平衡方程是要确保这两者均为零,除称为一矩式的(3.1.3)外,还可以写作二矩式
(3.1.4)其中要求轴与两矩心的连线力系可能满足方程(3.1.4)但不平衡,如图3.1所示。不垂直。倘若不满足该条件,图3.1二矩式失效:AB连线与轴垂直
三矩式失效:A、B、C三点共线
4
(3.1.5)其中要求(3.1.4)但不平衡,如图3.1所示。在具体应用中,以方便为原则,选择合适的方程形式,以利于解题。三点不在一直线上。否则,力系可能满足方程(2)
汇交力系
不失一般性,设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。则不论该力系是否平衡,力系中各力对x,y,z轴的力矩都为零。方程(3.1.2)中后三个方程恒成立。此时,方程(3.1.2)退化为
(3.1.6)平衡方程还可以写作三矩式(3.1.2)5式(3.1.6)为汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系,力系在与所在平面垂直的轴上的投影恒为零,记该轴为z轴,则平面汇交力系的平衡方程为
(3.1.7)(3)平行力系
不失一般性,设力系中各力作用线均与z轴平行而与x,y轴垂直。则不论该力系是否平衡,力系中各力对x,y轴的投影和对z轴的力矩恒为零。此时,方程(3.1.2)退化为(3.1.8)(3.1.2)6式(3.1.8)为平行力系的平衡方程。式(3.1.8)中对x轴的力矩等同于对y,z平面中的点的矩。对于平面平行力系,进一步设力系在
y,z平面内,则对y轴的矩恒为零,而与力系平衡与否无关。因此,平面平行力系的平衡方程为(3.1.9)(4)力偶系
由于力偶在任意轴上的投影为零,因此,式(3.1.2)中前三个方程成为恒等式而与力系平衡与否无关。此时,方程(3.1.2)退化为
(3.1.10)(3.1.8)(3.1.2)7式(3.1.10)为力偶系的平衡方程。对于平面力偶系,设力偶作用平面均为xy平面,则力偶矩矢均与x,y轴垂直而投影为零。因此,平面力偶系的平衡方程为
(3.1.11)8基本形式A、B连线不得⊥x轴A、B、C不得共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程A、B连线不得与各力平行二力矩形式三力矩形式二力矩形式若力系各力平于
y轴:9例1支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接,并各以铰链A、
D连接于铅直墙上,如图所示。已知杆AC=CB,杆DC与
水平线成45º角;载荷F=10kN,作用于B处。设梁和杆的
重量忽略不计,求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ABDCFABC1.取AB杆为研究对象;3.选坐标系,列平衡方程解:2.作受力图;SFx=0
FAx
+FCcos45º
=0SFy=0
FAy
+FCsin45º–F
=0SMA(F)=0FCcos45º·l–F·2l
=04.求解FC=28.28kNFAx
=–20kNFAy
=–10kNFFCFAyFAxll45º10例2伸臂式起重机如图所示,匀质伸臂AB重P=2200N,吊车
D、E连同吊起重物各重F1=F2=4000N。已知:l=4.3m,
a=1.5m,b=0.9m,c=0.15m,a=25º。
试求A处的约束力,以及拉索
BH
的拉力。DEaacbBHACF1F2lP解:1.取伸臂AB为研究对象2.受力分析如图yxBAFBPF2F1ECDFAyFAxa11yxBAFBPF2F1ECDFAyFAxa3.选如图坐标系,列平衡方程SFx=0
FAx–
FBcosa
=0SFy=0
FAy–F1–P–F2+FBsina
=0SMA(F)=04.联立求解FB
=12456NFAx
=11290NFAy
=4936N12例3外伸梁的尺寸及载荷如图所示,F1=2kN,F2=1.5kN,
M=1.2kN·m,l1=1.5m,l2=2.5m。
试求支座A及支座B的约束力。
F1ABl2l1llF2M60º1.取梁为研究对象解:2.受力分析如图3.选坐标系,列平衡方程ABxyFAxFAyF1FBF2M60ºSFx=0
FAx–
F2cos60º
=0SFy=0
FAy+FB–F1–F2sin60º=0SMA(F)=0FBl2–M
–F1l1–F2sin60º(l1+l2)
=04.求解FB
=3.56kN
FAx
=0.75kN
FAy
=–0.261kN13AB例4如图所示为一悬臂梁,A为固定端,设梁上受分布集度为
q的均布载荷作用,在自由端B受一集中力F和一力偶M
作用,梁的跨度为l。试求固定端的约束力。ABlqFM45º2.受力分析如图1.取梁为研究对象解:3.选坐标系,列平衡方程qABxyMFFAyMAlFAx45ºSFx=0
FAx–
F
cos45º
=0SFy=0
FAy
–ql–Fsin45º=0SMA(F)=0MA–ql·l/2–F
cos45º·l+M
=04.求解FAx
=0.707F
FAy
=ql+0.707F
14BAD1mq2mM解:1.取梁AB为研究对象2.受力分析如图BA其中F=q×AB=300N,作用在AB的中点C处。3.选坐标系,列平衡方程。yxSFx=0
FAx
=0SFy=0
FAy
–F+FD=0SMA(F)=0DFFAyFAxFDCM例5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用,已知载荷集度
(即梁的每单位长度上所受的力)q=
100N/m,力偶矩
M=
500N·m。长度AB=3m,DB=1m。
试求活动铰支座
D和固定铰支座A的约束力。15例5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用,已知载荷集度
(即梁的每单位长度上所受的力)q=
100N/m,力偶矩
M=
500N·m。长度AB=3m,DB=1m。
试求活动铰支座
D和固定铰支座A的约束力。3.选坐标系,列平衡方程。SFx=0
FAx
=0SFy=0
FAy
–F+FD=0SMA(F)=04.联立求解FD=475NFAx=0FAy=–175NBAD1mq2mMBAyxDFFAyFAxFDCM16yx例6某飞机的单支机翼重
G=7.8kN。飞机水平匀速直线飞行时,
作用在机翼上的升力
F=27kN,力的作用线位置如图示,
其中尺寸单位是mm。试求机翼与机身连接处的约束力。25802083770ABCFG解:1.取机翼为研究对象2.受力分析如图BAGFAyFAxMACF3.选坐标系,列平衡方程。SFx=0
FAx
=0SFy=0
FAy
–G+F
=0SMA(F)=04.联立求解FAx=0N
FAy=-19.2kNMA=-38.6kN·m(顺时针)17例7塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN,作用线通过塔架的中心。
最大起重量G2=200kN,最大悬臂长为12m,轨道AB的间距为4m。
平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问:
(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒,求平衡荷重G3应为多少?(2)若平衡荷重G3=180kN,求满载时轨道A,B给起重机轮子的约束力?AB2m
2m6m12mG1G2G3FBFA18AB6m12mG1G2G32m
2mFBFA解:1.取起重机为研究对象2.受力分析如图SMB(F)=03.列平衡方程SMA(F)=0G3×(6+2)+G1×2–G2×(12-2)–FA×4
=0G3×(6–2)–G1×2–G2×(12+2)+FB×4=019AB6m12mG1G2G32m
2mFBFA4.起重机不翻倒时平衡荷重G3(1)满载时(G2=200kN)不绕B点翻倒应有FA≥0,即临界情况下为FA=0,可得G3min8G3min+2G1–10G2=0∴G3min=75kN(2)空载时(G2=0)不绕A点翻倒应有FB≥0,即临界情况下为FB=0,可得G3max2G1–4G3max=0∴G3max=350kN∴有75kN
<G3<350kN20AB6m12mG1G2G32m
2mFBFA5.取G3=180kN,求满载(G2=200kN)
时轨道A,B对起重机的约束力FA、
FB。=210kN=870kN213
静定与静不定问题的概念1A2F汇交力系未知力数:平衡方程:F1ABF2平行力系未知力数:平衡方程:F1、F2FA、FB任意力系未知力数:平衡方程:FAx、Fay、MAAMA静定问题:未知力数
≤
静力平衡方程数22A31A2F汇交力系未知力数:平衡方程:F1ABF2平行力系未知力数:平衡方程:、F3、FCBF1、F2FA、FB任意力系未知力数:平衡方程:FAx、FAy、MAC、FBMA在静定问题上再加上多余约束,则成为静不定问题。23此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量。静不定问题(超静定问题):未知力数
>
静力平衡方程数须建立补充方程求解,在材料力学中研究。注意:实际中多余约束可提高结构的强度、刚度、稳定性,并
不多余。多余约束只是针对结构平衡而言是多余的。A31A2FF1ABF2BCMA24表3.1力系形式与平衡方程的个数力系形式独立方程数力系形式独立方程数一般力系6平面力系3汇交力系3平面汇交力系2平行力系3平面平行力系2力偶系3平面力偶系125如果系统约束力的未知分量的数目正好等于系统平衡方程的数目,这类平衡问题称为静定问题。在某些问题中,未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目,因此,仅由平衡方程不能无法求得全部未知约束力分量。这类平衡问题称为静不定问题。对于静不定问题,由于未知量的数目大于独立的平衡方程的数目而使问题不能在静力学范围内完全解决。为确定所有未知量,还必须增加补充方程,即变形协调方程,这将在材料力学或结构力学中讨论。例3.1-1:分析四脚凳的静不定性。解:四脚凳受到人的重力和地面对四个脚的约束力作用,这5个力组成空间平行力系。平衡方程数为3,但约束数为4,所以是1次静不定。26(a)(b)(c)
例3.2-2:判定图示平衡问题静定与否。A处未知约束力分量数B处未知约束力分量数C处未知约束力分量数总未知约束力分量数约束力构成的力系及其独立方程数图a2114平面一般力系,3图b224平面一般力系,3图c314平面一般力系,3因此均为静不定问题。27如:
物系外力:物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力。刚体系:由若干个刚体通过约束所组成的系统。又称为物系。4
刚体系的平衡qBADMFCHE物系内力:物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力。如:主动力、约束力。
如:左图中AC杆与CE杆在C铰链处的相互作用力。
28物系平衡的特点:①物系静止②物系平衡时,其中每一物体也处于平衡状态,满足各自的
平衡条件。③对每一物体都可列出相应的独立平衡方程,其总和即为物
系具有的独立平衡方程的数目。设物系由
n
个物体组成,每个物体均受平面任意力系作用,
其平衡方程数为
3,则物系的独立平衡方程数为3n
个,可求
解3n个未知量。当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时,其平衡方程数应相应减少。若物系未知量数不多于物系的独立平衡方程数时,为静定问题,否则为静不定问题。29未知力数:平衡方程数:3×2=6FAx、FAy、MA、FCx、FCy、FB未知力数:∴为静定问题。FAx、FAy、MA、FCx、FCy、
FBx、FBy平衡方程数:3×2=6qAMF1CBF2BqAMF1CF2∴为静不定问题。对静定问题,可列出每一物体的平衡方程,再组成方程组联立求解,但常要进行较繁的数学运算。在解题时,若能选取适当的研究对象,列出必须足够的平衡方程,可使运算过程简便。30求解物系平衡问题的一般方法:qAMF1CBF2由整体局部或:由局部整体31例7如图所示为曲轴冲床简图,由轮I,连杆AB和冲头B组成。
A,B两处为铰链连接。OA=R,AB=l。如忽略摩擦和物体
的自重,当OA在水平位置,冲压力为
F
时系统处于平衡状
态。求(1)作用在轮I上的力偶矩
M
的大小;(2)轴承O处的
约束反力;(3)连杆AB受的力;(4)冲头给导轨的侧压力。ABOMFIa解:1.取冲头为研究对象受力分析如图列平衡方程ByxFBFNFa求解得:32OAABOMFIa2.取轮I为研究对象受力分析如图列平衡方程求解得:yxFOxFOyFAM33例8
三铰拱桥及尺寸如图所示,由左右两段用铰链C连接,又用
铰链A,B与基础相连接。已知每段重G=40kN,重心分别
在D,E处,且桥面受一集中载荷F=10kN。
设各铰链都是光滑的,试求平衡时各铰链中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m34解:DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFF'CxF'CyFBxFBy1.取AC段为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0
FAx–FCx
=0SFy=0
FAy
–G–FCy
=0SMC(F)=0FAx×6
–FAy×6+G×5
=02.取BC段为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0
FBx+F'Cx
=0SFy=0
FBy
+F'Cy
–G–F
=0SMC(F)=0FBx×6
+FBy×6–F×3
–G×5
=035DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFF'CxF'CyFBxFBy列平衡方程SFx=0
FAx–FCx
=0SFy=0
FAy
–G–FCy
=0SMC(F)=0FAx×6
–FAy×6+G×5
=0列平衡方程SFx=0
FBx+F'Cx
=0SFy=0
FBy
+F'Cy
–G–F
=0SMC(F)=0FBx×6
+FBy×6–F×3
–G×5
=0联立求解得:FAx
=-FBx
=FCx
=9.17kNFAy=42.5kN
FBy=47.5kN
FCy=2.5kN此时求解过程较繁。36DAEBCGGFyxFAxFAyFBxFBy若先取整体为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0
FAx+FBx
=0SFy=0
FAy
+FBy–G–G–F=0SMA(F)=0FBy×12
–F×9–G×1–
G×11=0再取BC段为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0
FBx+F'Cx
=0SFy=0
FBy
+F'Cy
–G–F
=0SMC(F)=0FBx×6
+FBy×6–F×3
–G×5
=0EBCF'CxF'CyGFFBxFBy∴FBy=47.5kNFAy=42.5kNFBx=-9.17kNFCx=9.17kNFCy=2.5kNFAx=9.17kN37l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例9组合梁AC和CE用铰链C相连,A端为固定端,E端为活动铰
链支座。受力如图所示。已知:l=8m,F=5kN,均布载荷
集度q=2.5kN/m,力偶矩的大小M=5kN·m。
试求固定端A,铰链C和支座E处的约束力。解:1.取CE段为研究对象2.受力分析如图3.列平衡方程DCEMl/4l/8F1GFCFESFy=0SMC(F)=04.联立求解FE=2.5kN,FC=2.5kN386.列平衡方程SFy=0SMA(F)=07.联立求解FA=12.5kN,MA=30kN·mACHl/8l/8l/4IFF2FAMA5.取AC段为研究对象,
受力分析如图l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/439例10刚架结构的尺寸和载荷如图所示。
试求A,B支座及C铰链处的约束力。GqABCbaa/2a/2MABC解:1.取刚架整体为研究对象受力分析如图列平衡方程FAxFAyFBxFByyxSFx=0
FAx+FBx+qb
=0SFy=0
FAy
+FBy–G
=0SMB(F)=0求解得:GqM40AC2.取刚架左半部为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0
FAx+FCx+qb
=0SFy=0
FAy
+FCy=0SMC(F)=0求解得:yxFAxFAyFCxFCyGqABCbaa/2a/2Mq41解题步骤与技巧1.解题步骤
①选研究对象
②画受力图(受力分析)
③选坐标、取矩心、列平衡方程
④求解未知数2.解题技巧与注意事项①选研究对象应能应联系已知力和未知力;②不要漏掉固定端约束处的约束力偶;③选坐标轴最好与未知力⊥或∥,取矩心最好选在未知力
的汇交点上;④充分发挥二力杆的直观性;⑤灵活使用合力矩定理;⑥力偶矩M=常数,它对任一点之矩都相等。42G2FAG1G3GFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例11一车载式起重机,车重G1=26kN,起重机伸臂重G2=4.5kN,
起重机的旋转与固定部分共重G3
=31kN。尺寸如图所示。
设伸臂在起重机对称面内,且放在图示位置。
试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。八、例题分析43GG2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m解:1.取汽车及起重机为研究对象2.受力分析如图3.选坐标系,列平衡方程SFy=0FA
+FB–G–G1–G2–G3
=0SMB(F)=04.联立求解5.由不翻倒的条件:FA≥0得:∴最大起吊重量为Gmax=7.5kN44例12
A,B,C,D处均为光滑铰链,物块重为G,通过绳子绕
过滑轮水平地连接于杆AB的E点,各构件自重不计。
试求B处的约束力。
45FBxFAyFAxFByFEFCxFCyGFAxFAy解:1.取整体为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0
FAx+FBx–FE
=0求解得:FAx=2.5GFBx
=–
1.5G
FBy=–
2G
SMC(F)=0G×5r
–FAx×2r=02.取杆AB为研究对象受力分析如图列平衡方程SMA(F)=0FBx×2r–FBy×2r–FE×r=0联立求解,得:46
求解得:例13已知各杆均铰接,B端插入地内,F=1000N,
AE=BE=CE=DE=1m,各杆重不计。
求B点的约束力?AC
杆所受的力?解:1.取整体为研究对象受力分析如图选坐标如图,取矩心B点,列平衡方程SFx=0
FBx
=0SFy=0
FBy–F
=0SMB(F)=0MB
–FBy×1=0MB
=1000N·m472.再研究CD杆受力如图取E为矩心,列平衡方程求解得:SME(F)=0–FCAsin45º×1–F×1=048例15已知:连续梁上,F=10kN,Q=50kN,CE铅垂,不计梁重求:A、B和D处的约束力。(看出未知数多余三个,不能先整体求出,要拆开)解:1.研究起重机画受力图列平衡方程SMH(F)=0FG×2–Q
×1–F
×5=0求解得:
FG=50kN493.再研究整体2.再研究梁CDSMC(F)=0FD×6–F'G
×1=0∴FD=8.33kNSMA(F)=0FB×3+FD×12–F×10–Q×6=0∴FB=100kNSFy=0
FAy
+FB
+FD–F–Q=0∴FAy
=–48.33kN50静力学《平面一般力系习题课》一、力线平移定理是力系简化的理论基础力力+力偶
③平衡合力矩定理①合力(主矢)②合力偶(主矩)二、平面一般力系的合成结果本章小结:51解:选整体研究受力如图选坐标、取矩点、Bxy,B点列方程为:
解方程得①②③④静力学
[例1]
已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N,AE=BE=CE=DE=1m,杆重不计。求AC杆内力?B点的反力?八、例题分析52一矩式
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