2021年广东省惠州市湖镇中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2021年广东省惠州市湖镇中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则（）A．a2+b2≤4 B．a2+b2≥4 C． D．参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），得到acosα+bsinα=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项．【解答】解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，∴a2+b2=（a2+b2）（cos2α+sin2α）≥（acosα+bsinα）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B．2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若，则角B的值是

A．

B．

C．或

D．或参考答案：D略3.已知双曲线的左右焦点为，，为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则（

）A． B．C． D．与关系不确定参考答案：A、，内切圆与轴的切点是点，∵，及圆的切线长定理知，，设内切圆的圆心横坐标为，则|，∴，，在中，由题意得，于，延长交于点，利用，可知，∴在三角形中，有：．∴．故选A．4.给出下列四个命题：①命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”；②命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“?x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“设，是任意两个向量，则“?=||||”是“∥”的充分不必要条件”，那么（￢p）∧q为真命题．其中正确的个数是(

) A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：推理和证明．分析：根据否命题的定义，可判断①；根据全称命题的否定方法，可判断②；根据三角函数的图象和性质及充要条件的定义，可判断③；根据三角函数的图象和性质及向量数量积的定义，可判断④．解答： 解：①命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，故错误；②命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x0∈R，使sinx0＞1，故正确；③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则sin（﹣2x+φ）=sin[π﹣（﹣2x+φ）]=sin（2x+π﹣φ）=sin（2x+φ）恒成立，则2φ﹣π=2kπ（k∈Z），即φ=+kπ（k∈Z），反之当φ=+kπ（k∈Z）时，y=sin（2x+φ）=cos2x或y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函数，故“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，故正确；④∵sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，?[﹣，]，故命题p：“?x0∈R，使sinx0+cosx0=”为假命题；若?=||||，则向量，同向，故命题q：“设，是任意两个向量，则“?=||||”是“∥”的充分不必要条件”为真命题，那么（￢p）∧q为真命题．综上正确的个数有3个，故选：B点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，难度中档．5.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A．

B．

C．

D．.参考答案：C6.设命题p：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）内有零点；命题q：设f'（x）是函数f（x）的导函数，若存在x0使f'（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点．下列命题中真命题是（）A．p且q B．p或q C．（非p）且q D．（非p）或q参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p，q的真假，再由复合命题真假判断的真值表判断四个复合命题的真假，可得答案．【解答】解：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）上连续，且f（1）=﹣1＜0，f（）=3﹣＞0，故命题p：函数f（x）=3x﹣在区间（1，）内有零点为真命题；若存在x0使f'（x0）=0，则x0可能不是函数f（x）的极值点．故命题q：设f'（x）是函数f（x）的导函数，若存在x0使f'（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点为假命题；故p且q，（非p）且q，（非p）或q为假命题；p或q为真命题，故选：B．7.某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A．ab﹣a﹣b+1 B．1﹣a﹣b C．1﹣ab D．1﹣2ab参考答案：A【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由题意，只有两道工序都合格，才能产出合格品，且这两道工序出废品是彼此无关的，故先求出每道工序出产品合格的概率，再求它们的乘积即可．【解答】解：由题意，两道工序出正品的概率分别是1﹣a，1﹣b，又这两道工序出废品是彼此无关的，故产品的合格率为为（1﹣a）（1﹣b）=ab﹣a﹣b+1故选A8.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(

)A直角三角形

B等腰直角三角形C等边三角形

D等腰三角形．参考答案：A略9.在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】利用复数的除法和复数的乘方运算将复数表示为一般形式，可得出其共轭复数，从而得出复数对应的点所在的象限.【详解】，.因此，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法与乘方运算，考查共轭复数以及复数的对应的点，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.10.以下四个命题：①满足的复数只有±1，±i；②若a、b是两个相等的实数，则是纯虚数；③；④复数的充要条件是；其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案：B【分析】本题可通过令并对进行运算即可判断出①是否错误；通过令即可判断出②是否正确；通过取可判断出③是否正确；最后可通过判断出复数的虚部为即可得出④是否正确。【详解】①：令，则，若，则有，即，错误；②：，若，，不是纯虚数，错误；③：若，，错误；④：，则其虚部为0，正确，综上所述，正确的命题为④，故选B。【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的基本概念、共轭复数的相关性质、复数的运算法则以及命题的真假判断与应用，考查推理能力与运算能力，是基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______参考答案：-2

12.一正多面体其三视图如右图所示（俯视图为等边三角形），该正多面体的体积为__________。参考答案：略13.若函数=|x-|在区间[1，+∞）为增函数，则实数的取值范围是___________参考答案：≤1

14.曲线在点A（1,1）处的切线方程为__________。参考答案：略15.函数在（1，+）上是增函数，则实数的取值范围是_________.参考答案：.略16.数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为

．参考答案：3个【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】①F（x）=f（|x|），从而判断；②易知函数F（x）是偶函数；③由对数函数的单调性及绝对值可判断F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n﹣log2m）＜0；④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|=或|x|=；从而判断出函数y=F（x）﹣2有4个零点．【解答】解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正确；②∵F（x）=f（|x|），∴F（﹣x）=F（x）；∴函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则F（m）﹣F（n）=﹣alog2m+1﹣（﹣alog2n+1）=a（log2n﹣log2m）＜0；④当a＞0时，F（x）=2可化为f（|x|）=2，即a|log2|x||+1=2，即|log2|x||=；故|x|=或|x|=；故函数y=F（x）﹣2有4个零点；②③④正确；故答案为：3个．17.已知x＞3，则+x的最小值为．参考答案：7【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题可以通过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式求出原式的最小值，即本题答案．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0．∴+x=≥．当且仅当x=5时取最值．故答案为：7．【点评】本题考查了基本不等式，注意不等式使用的条件．本题难度适中，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点，离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）设过定点的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，且，求直线l的斜率k的取值范围；

参考答案：解：（1）设椭圆的方程为：

，由已知：得：，，所以，椭圆的方程为：.

……………（4分）（2）由题意，直线斜率存在，故设直线的方程为由得

……………（6分）由即有

……………（8分）即有解得

……………（10分）综上：实数的取值范围为……………（12分）

19.在数列，中，,,,（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设为数列的前项的和，若对任意，都有，求实数的取值范围.参考答案：（1）因为，，，即数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.

，，，所以，当时，，即.

（2）由

得，，

，，因为，所以.

当为奇数时，随的增大而增大，且，，；

当为偶数时，随的增大而减小，且，，.综上，.20.本题满分12分）已知函数，且方程有实根.（1）求证：且；（2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由.参考答案：（1）解:或又，所以。（2）设是方程两个根，则，又。略21.(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）求二面