9.2 多元函数的偏导数

第二节偏导数偏导数的定义及其计算法偏导数的几何意义高阶偏导数小结思考题作业第八章多元函数微分法及其应用7/20/202312005.11一、偏导数的定义与计算1.偏导数的概念定义存在,内有定义，函数有相应的增量如果极限则称此极限为函数偏导数对x的偏导数。关于x的偏增量9-2-2北京工商大学记为：或同理,可定义函数为记为：或对y的偏导数,偏导数2011-2-33北京工商大学那么这个偏导数仍是x,y的二元函数,称此函数为函数f(x,y)对自变量x的偏如果函数f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对导函数，简称偏导数。记作：或同理,可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数.记作：或x的偏导数都存在,偏导数2011-2-44北京工商大学偏导数的概念可以推广到二元以上函数如,偏导数2011-2-55北京工商大学2.偏导数的计算偏导数例

求在点(1,0)处的两个偏导数.解求多元函数的偏导数利用一元函数只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,9-2-6北京工商大学例

求在点(1,0,2)处的三个偏导数.偏导数解

求某一点的偏导数时,变为一元函数,代入,可将其它变量的值再求导,常常较简单.例求的偏导数.解9-2-7北京工商大学例偏导数

证

偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.已知理想气体的状态方程pV=RT.其中p为压强,9-2-8北京工商大学二、偏导数的几何意义设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义偏导数9-2-9北京工商大学可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.偏导数2011-2-1010北京工商大学例

求偏导数.偏导数解按定义得9-2-11北京工商大学注

但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.

由以上计算可知,

在点

处可偏导,偏导数存在与连续的关系？一元函数中在某点可导

连续多元函数中在某点偏导数存在

连续不了连续性.偏导数都存在,函数未必有极限,更保证偏导数2011-2-1212北京工商大学三、高阶偏导数偏导数混合偏导定义高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为9-2-13北京工商大学例

求二阶偏导数.偏导数解9-2-14北京工商大学多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏在区域D内定理连续，那么在导数该区域内如偏导数),(yxfz=2011-2-1515北京工商大学例

设偏导数解有).0,0()0,0(yxxyff和求9-2-16北京工商大学按定义得此题中这只能说明都不连续.注偏导数2011-2-1717北京工商大学例

验证函数

满足方程:证因故有偏导数9-2-18北京工商大学例

验证函数

满足方程:证因由x,y在函数表达式中的对称性,立即可写出即证.偏导数9-2-19北京工商大学1988年研究生考题,计算,6分

答案:0解练习偏导数=¶¶22xu÷øöçè梢-÷øöçè梢-xygxyyxfyx222011-2-2020北京工商大学偏导数的定义偏导数的计算高阶偏导数(偏增量比的极限)纯偏导混合偏导(相等的条件)四、小结偏导数的几何意义偏导数存在与连续、极限的关系偏导数2011-2-2121北京工商