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文档简介

第八节一般周期函数的级2为周期的周期函数.但在很多实际问题中，我们常常会遇到周期不是2的周期函数本节我们要讨论这样一类周期函数的级数的展开问题.★一般周期函数的级★例 ★例 ★例★★ ★*★定理1设周期为2l的周期函数f(x)在区间[l,l]上满足雷收敛定理的条件，则f(x)2

(an

bn

l

a1lf(x)cosnx

(n l

b1lf(x)sinnx

(n l f(xf(x)bn

l

b2lf(x)sinnx

(n

l f(x

f(x)

an 2l2l

a2lf(x)cosnx

(n

l

l1cnl1

f

l

(n

1(E01)f(x4的周期函数,它在[2,2f(x)

2x,0x试将f(x)展开成级数 l2,满足狄氏充分条件a100dx12kdx 2 2a12kcosnxdx0(n1,2, 2

2k

bn20ksin2xdxn(1cosn) k2ksinx1sin3x1sin5x

n2,4,6,f

(x;x0,2,4, 2M(x)px/ 0xl/展开成正弦级数

p(lx)/

l/2x M(x)是定义在[0,l]上的函数，要将它展开成正弦级数，须将M(x)进行奇延拓延拓后的函数的系b

lM(x)sinnxdx2

l/2pxsinnxdx

pl

l

l

dx 对上式右端的第二项,令tlxb2

l/2pxsinnxdx

0ptsin

lt)(

2

l/2pxsinnxdx

l/2ptsin l

dt n246bn0n135b4

l/2xsinnxdx

2

sinn

2l

n2 M(x)2plsinx

1sin3x

1sin5x (01sin5x 2

将函数fx10x(5x15)展开 级数 作变量代换zx10(5x15),则f(x)f(z10)zF(z)(5zF(55,F(z)作周期延拓(T且展开式在(55Fan0(n0,1,2,

后的函数满足收敛定理的条件b25(z)sinnzdz(1)n

5 F(z)10

(5z 115(10x)cosnxdx215cosnxdx

15xcosnxdx0(n1,2, 5 1 (10x)dx

5 5115(10x)sinnxdx(1)n

5 f(x)10x10

x(5x 4(E02)把宽为hT的矩形波（12-8-2）展开为复数形式的 在一个周期[T/2,T/2]内矩形波的函数表达式u(t)

T/2t/2t/2/2tCn

1T/

i2nt

dt

iuhTuhTTt TT/ T/h

2nt/

T2ni

T

nsin

(n1,2,0C1T/2u(t)dt1/0

h

128TT/ T/ h

i所以u(t) T

eT

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